La probabilità

​​Definizione

Il calcolo delle probabilità si occupa di definire quante possibilità ci sono che un dato evento si verifichi. La probabilità dell'evento si esprime con un valore compreso tra $$0$$ e $$1$$​ inclusi, e si ottiene dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello di tutti i casi possibili.

Esempio

In una busta ci sono $$10$$ palline: $$3$$ di queste sono grigie
La probabilità di pescare una pallina grigia è $$3$$​ su $$10$$​, che si esprime come il rapporto $$\dfrac{3}{10}$$ ed equivale a $$3:10=\text{0,3}$$. 

​

​

Certo, possibile e impossibile

• Un evento certo è un evento che accadrà sicuramente.
  Si dice, quindi, che la sua probabilità è $$1$$.​
• Un evento possibile è un evento che è possibile che accada.
  Si dice, quindi, che la sua probabilità compresa tra $$0$$ e $$1$$ esclusi.​
• Un evento impossibile è un evento che non potrà mai accadere.
  Si dice, quindi, che la sua probabilità è $$0$$.

​

​

Come esprimere la probabilità

La probabilità di un evento $$E$$​ si indica con $$P(E)$$ e si può scrivere sotto forma di frazione, in cui il numero di casi favorevoli costituisce il numeratore e quello dei casi totali costituisce il denominatore.

Nota bene: conoscendo la relazione tra frazione e percentuale, questa si può esprimere anche sotto forma di percentuale moltiplicando per $$100\%$$ il risultato della divisione tra numero di casi favorevoli e numero di casi totali.

Esempio

Esprimere la probabilità con cui da un sacchetto della tombola con $$90$$ palline venga estratto un numero minore di $$10$$​ sapendo che ci sono $$9$$ numeri minori di $$10$$​. Il numero di casi favorevoli è $$9$$, mentre quello di casi totali $$90$$. Quindi $$P(E)$$​ si può esprimere:

•  sotto forma di frazione come $$\dfrac{9}{90}$$;
•  sotto forma di percentuale, attraverso il calcolo $$9:90 \cdot 100\%$$, come $$10\%$$​.
  

​

Probabilità di eventi incompatibili

Due eventi sono incompatibili se uno di questi esclude il verificarsi dell'altro, cioè se non possono verificarsi contemporaneamente. La probabilità totale si ottiene sommando le probabilità dei singoli eventi.

Esempio

Lanciando un dado a $$12$$ facce qual è la probabilità che si ottenga un numero minore di $$3$$ o maggiore di $$9$$? La probabilità di ottenere il primo evento è pari a $$\dfrac{2}{12}$$ , mentre di ottenere il secondo evento è $$\dfrac{3}{12}$$. Sommando i due valori si ottiene una probabilità di $$\dfrac{5}{12}$$.

Probabilità di eventi compatibili

Due eventi sono compatibili quando possono verificarsi contemporaneamente. La probabilità in questo caso è data dalla somma tra la probabilità dei singoli eventi, a cui viene sottratta la probabilità dei casi in comune.

Esempio

Lanciando un dado a $$12$$ facce qual è la probabilità che si ottenga un numero pari o maggiore di $$9$$? La probabilità di ottenere il primo evento è pari a $$\dfrac{6}{12}$$ , mentre di ottenere il secondo evento è $$\dfrac{3}{12}$$. Inoltre, ci sono $$2$$ numeri pari maggiori di $$9$$, cioè $$2$$ casi in cui si verificherebbero entrambe le condizioni. Quindi il risultato è $$\dfrac{6}{12}+\dfrac{3}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{7}{12}$$ .

Probabilità di eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influenza il verificarsi dell'altro. La probabilità totale è data dal prodotto tra le probabilità con cui si verificano i singoli eventi.

Esempio

Estraendo da due sacchetti contenenti numeri che vanno da $$1$$ a $$20$$ inclusi, qual è la probabilità con cui verrà pescato $$15$$ da entrambi i sacchetti? La probabilità è in entrambi i casi pari a $$\dfrac{1}{20}$$, quindi quella complessiva è data da $$\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{400}$$.

Probabilità composta di eventi dipendenti

Due eventi sono dipendenti se il verificarsi di uno condiziona il verificarsi dell'altro.

Esempio

Qual è la probabilità di estrarre prima una pallina rossa e poi una verde da un sacchetto che contiene $$4$$ palline rosse, $$3$$ verdi e $$5$$ gialle? La probabilità con cui viene estratta prima una pallina rossa è pari a $$\dfrac{4}{12}$$, quindi $$\dfrac{1}{3}$$. Mentre la probabilità che venga estratta una pallina verde  è pari a $$\dfrac{3}{11}$$ in quanto, dopo la prima estrazione, le palline totali sono passate da $$12$$ a $$11$$. Quindi la probabilità complessiva è data da $$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{11}=\dfrac{1}{11}$$.