Divisibilità, divisori e numeri primi

​​Divisibilità di un numero naturale

Un numero naturale $$a$$ è divisibile per un numero naturale $$b$$​ diverso da $$0$$​ se la divisione $$a:b$$  ha resto $$0$$, quindi se il risultato della divisione $$a:b$$ è anch'esso un numero naturale.

Il numero $$b$$ si dice divisore di $$a$$​ e il numero $$a$$​ si dice multiplo di $$b$$.​

Esempi

$$10$$​ è divisibile per $$2$$ perché $$10:2$$ ha resto $$0$$, infatti $$10:2=5$$ è un numero naturale.

$$2$$ è un divisore di $$10$$​ e $$10$$ è un multiplo di $$2$$.

$$10$$​ non è divisibile per $$3$$​ perché $$10:3$$ ha resto $$1$$, infatti il risultato di $$10:3$$ non è un numero naturale.

$$3$$ non è un divisore di $$10$$ e $$10$$ non è un multiplo di $$3$$.​

Nota bene: il divisore e il multiplo non sono unici. Un numero ha infiniti multipli e almeno due divisori: uno e se stesso.

Esempio

$$1,2,3,4,6,12$$ sono tutti i divisori di $$12$$;

$$2,4,6,8,10,...$$ sono alcuni multipli di $$2$$.​

Trovare i divisori di un numero naturale

I primi due divisori di un numero naturale sono $$1$$ e il numero stesso.

Per cercare tutti gli altri bisogna effettuare delle divisioni di verifica utilizzando il seguente metodo iterativo.

PROCEDIMENTO

Procedi in questo modo, dividendo di volta in volta per il numero maggiorato di uno, finché questo divisore è un numero già incontrato. 

Esempio

Trovare tutti i divisori di $$20$$.

Sicuramente $$1$$ e $$20$$ sono divisori di $$20$$;

​$$20:2=10$$ resto $$0$$, allora $$2$$ e $$10$$ sono divisori di $$20$$;

$$20:3$$ non ha resto $$0$$ quindi $$3$$ non è divisore di $$20$$;

​$$20:4=5$$ resto $$0$$​ allora $$4$$​ e $$5$$​ sono divisori di $$20$$.​

Non bisogna proseguire con $$20:5$$​ perché il numero $$5$$​ è già stato incontrato.

Tutti i divisori di $$20$$​ sono $$1,2,4,5,20$$.​

​​Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono delle regole che aiutano a capire velocemente se un numero $$a$$ è divisibile per un numero $$b$$, evitando di svolgere i calcoli.

Seguono le regole più utilizzate:

• Qualsiasi numero è dividibile per uno e per se stesso.

• Un numero è divisibile per due se la sua ultima cifra è ​$$0$$ o $$2$$ o $$4$$ o $$6$$ o $$8$$.

• Un numero è divisibile per tre se la somma delle sue cifre è divisibile per tre.

• Un numero è divisibile per quattro se le sue ultime due cifre formano un numero divisibile per quattro.

• Un numero è divisibile per cinque se la sua ultima cifra è $$0$$​ o $$5$$.

• Un numero è divisibile per sei se è divisibile sia per due che per tre.

• Un numero è divisibile per nove se la somma delle sue cifre è divisibile per nove.

• Un numero è divisibile per dieci se la sua ultima cifra è $$0$$​.
  

Esempi

​$$24$$ è divisibile per $$2$$ perché la sua ultima cifra è $$4$$.

​$$12$$​ è divisibile per $$3$$ perché $$1+2=3$$ che è divisibile per $$3$$.

​$$108$$​ è divisibile per $$4$$ perché $$8$$ è divisibile per $$4$$.​

​$$18$$​ è divisibile per $$6$$ perché è divisibile per $$2$$ e per $$3$$.​

$$15$$ è divisibile per $$5$$ perché la sua ultima cifra è $$5$$.

Numeri primi

Un numero primo è un numero naturale maggiore di $$1$$ divisibile solo per uno e per se stesso.

Esempi

​$$5$$ è un numero primo perché è divisibile solo per $$1$$​ e per $$5$$​.

$$8$$ non è un numero primo perché è divisibile per $$1,2,4,8$$​.​

Tabella numeri primi

Sono riportati in tabella i numeri primi fino a $$100$$.