Le equazioni con due incognite

​​Definizione

Le equazioni in cui sono presenti due incognite ammettono più soluzioni. La soluzione è unica quando il numero di incognite presenti è uguale al numero di equazioni date. Si forma così un sistema di equazioni.

Esempi

$x+y=9$ può essere risolta da tante coppie di valori, come $(2,7)$​ o $(5,4)$.​

​$\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases}$  è un sistema di due equazioni con due incognite.

La soluzione in questo caso è $\begin{cases}x=1 \\y=1\end{cases}$ cioè la coppia $(1,1)$.​

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Proprietà dei sistemi di equazioni

Nota bene: il paragone con la bilancia continua a valere! Sui piattini della bilancia ci sono due oggetti sconosciuti ora, e la parentesi graffa richiede che i pesi soddisfino contemporaneamente entrambi i casi, ovvero entrambe le equazioni.

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Metodi di risoluzione

Ci sono due metodi per la risoluzione dei sistemi di equazioni a due incognite.

Metodo di sostituzione

PROCEDIMENTO

Esempio

 $\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{isolo\ x} \begin{cases}x=3-2y \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{sostituisco\ x \ nella \ seconda} 3-2y+y=2 \to y=1$ 

Risolta la prima basta sostituire $y$​ in una delle due equazioni del sistema ed ottenere $x$: ​$x+2 \cdot 1=3 \to x=1$.

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Metodo di addizione

PROCEDIMENTO

Esempio

$\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{scelgo\ x\ da \ eliminare} \begin{cases}x+2y=3 \ \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{ moltiplico \ per \ -1} \begin{cases}-x-2y=-3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{sommo} -x+x-2y+y=-3+2 \to -y=-1 \to y=1$​​

Esattamente come prima si può ricavare anche $x$​ sostituendo $y$​ in una delle due equazioni, ottenendo lo stesso risultato.

Nota bene: come puoi notare i due metodi danno lo stesso risultato. E' importante impararli tutti perché a volte è più immediato usare un metodo piuttosto che l'altro, ma è normale averne uno con cui ci si sente più a proprio agio.