Intersezione e unione di insiemi

Intersezione degli insiemi

Dati due insiemi $A$ e $B$ , l'intersezione di $A$ e $B$ è l'insieme composto da tutti gli elementi comuni appartenenti all'insieme $A$ e all'insieme $B$ . Il simbolo dell'intersezione è $\cap$ . Due insiemi $A$ e $B$ sono detti insiemi disgiunti quando l'insieme $A\cap B$ è un insieme vuoto.

Esempio

$A=\{\ 2,5,6, 7, 9\}\\B=\{1,3,4,6,7,9\}\\A\cap B=\{6,7\}$

Unione degli insiemi

Dati due insiemi $A$ e $B$ , l'unione di $A$ e $B$ è quell'insieme composto da ognuno degli elementi appartenenti all'insieme $A$ o all'insieme $B$ , oppure comuni a entrambi. Il simbolo dell'unione è $\cup$ .

Nota bene: gli eventuali elementi presenti in entrambi gli insiemi vanno considerati una sola volta nell'insieme unione.

Esempio

$A=\{2, 5, 6, 7, 8\}\\B=\{1,3, 4, 6, 7, 9\}\\A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Differenza tra insiemi

Dati due insiemi $A$ e $B$ , la differenza $A\backslash B$ è quell'insieme composto dagli elementi dell'insieme $A$ che non appartengono anche all'insieme $B$ . L'insieme della differenza $A \backslash B$ è anche detto complemento di $B$ rispetto ad $A$ .

Esempio

$A=\{2,5,6,7,8\}\\B=\{1,3,4,6,7,9\}\\A \backslash B=\{2,5,8\}$

Proprietà degli insiemi

Commutativa	Quando fai l'unione fra due insiemi, se cambi l'ordine degli insiemi il risultato non cambia. Lo stesso vale per l'intersezione. In formule: $A\cup B= B\cup A\\A\cap B=B\cap A$
Associativa	Quando fai l'unione fra tre o più insiemi, se sostituisci due o più insiemi con la loro unione il risultato non cambia. Lo stesso vale per l'intersezione. In formule: $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
Distributiva	L'unione di un insieme con un'intersezione di altri due è uguale all'intersezione delle unioni del primo con gli altri due presi singolarmente. In formule: $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
Prima legge di De Morgan	Il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale a all'unione dei complementari dei due insiemi. In formule: $(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
Seconda legge di De Morgan	Il complementare dell'unione di due insiemi è uguale all'intersezione dei complementari dei due insiemi. In formule: $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$

Esempi

Dati i seguenti insiemi:

$A= \{ 0,2,4,8,16,32,64 \}, B= \{ 0,1,2,3,4,5 \}, C=\{2,4,6,8,10 \},D \subset A= \{ 2,4,8\}, E \subset B = \{0,1,2 \}\\[0.5cm]A \cup B= \{ 0,1,2,3,4,5,8,16,32,64\} = B \cup A\\ A \cap B= \{ 0,2,4 \} = B \cap A\\ A \cup (B \cap C) = \{0,2,4,8,16,32,64 \} = (A \cup B)\cap(A \cup C)\\ (D \cap E)^c = \{ 0,1,3,4,5,8,16,32,64\} = D^c \cup E^c$