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Erklärvideo

Lehrperson: Martin
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Zusammenfassung

Lineare Optimierung berechnen

Definition

Bei der linearen Optimierung soll der Wert einer linearen Funktion (Zielfunktion) maximiert oder minimiert werden. Dabei sind der Definitions- und der Wertebereich durch gegebene Nebenbedingungen eingeschränkt.



Begriffe

Zielfunktion

Funktion mit zwei Variablen, deren Wert maximiert werden soll.

​z(x,y)=d⋅x+e⋅yz(x,y)=d \cdot x+e \cdot yz(x,y)=d⋅x+e⋅y​​

Nebenbedingungen

Ungleichungen, die den Definitions- und den Wertebereich einschränken.

​ax+by≤c...\begin{aligned}ax+&b y \leq c \\&... \end{aligned}ax+​by≤c...​​​


​

Lösung eines linearen Optimierungsproblems

Zum Lösen benötigt man ein Koordinatensystem.



Vorgehen

1.

Bei allen Ungleichungen yyy​  allein stellen.

Beachte: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, so muss man das Ungleichzeichen umdrehen (<<<​  zu >>>  und umgekehrt).

2.

Ungleichungen jeweils als lineare Funktion im Koordinatensystem einzeichnen:

3.

Einzelne Lösungsbereiche markieren. Für Gleichungen mit:

  • y≥y \geqy≥​ und y>y>y>​ : Markiere den Bereich oberhalb der Linie
  • y≤y \leqy≤​ und y<y<y<​ : Markiere den Bereich unterhalb der Linie

4.

Markiere den Bereich deutlich, wo sich alle einzelnen Lösungsbereiche überdecken.

5.

Wähle einen beliebigen Wert und ersetze zzz​  mit diesem Wert in der Zielfunktion:

​z(x,y)=d⋅x+e⋅yz(x,y)=d \cdot x+e \cdot yz(x,y)=d⋅x+e⋅y​​


Dies definiert eine lineare Funktion y=f(x)y=f(x)y=f(x)​ . Bestimme die Achsenschnittpunkte dieser Funktion:

  • Setze x=0x=0x=0​  und berechne y à y-Achsenschnittpunkt
  • Setze y=0y=0y=0​  und berechne x à x-Achsenschnittpunkt

Zeichne die beliebige Zielfunktion anhand der Achsenschnittpunkte ein.

6.

Bestimme den optimalen Punkt:

Verschiebe die Zielfunktion so lange parallel, bis sie den höchsten (beim Maximum) bzw. den tiefsten (beim Minimum) Eckpunkt des Lösungsbereichs erreicht.

7.

Setze die Koordinaten dieses Eckpunkts in die allgemeine Zielfunktion ein und berechne den optimalen Wert der Zielfunktion.



Beispiel

Zielfunktion:  z(x,y)=y+2xz(x,y)=y+2xz(x,y)=y+2x​


Nebenbedingungen:

  1. x−2y≤2x-2y \leq 2x−2y≤2
  2.   y−2x≤1y-2x \leq 1y−2x≤1
  3.   x+y≤2x+y\leq 2x+y≤2​​

Nebenbedingungen umformen und einzeichnen:

  1. y≥0,5x−1y \geq 0,5x-1y≥0,5x−1
  2. y≤2x+1y \leq 2x+1y≤2x+1
  3. y≤−x+2y \leq -x+2y≤−x+2​​​​
Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Lineare Optimierung berechnen


Beliebige Zielfunktion: z=2z=2z=2​

Achsenschnittpunkte: 2=y+2⋅0→2=y‾2=y+2\cdot0 \rightarrow \underline{2=y}2=y+2⋅0→2=y​​  und 2=0+2x→1=x‾2=0+2x \rightarrow \underline{1=x}2=0+2x→1=x​​

Einzeichnen und parallel verschieben zum Maximum:

Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Lineare Optimierung berechnen


Die Zielfunktion hat ihr Maximum im Punkt: x=2‾\underline{x=2}x=2​​  und y=0‾→P(2∣0)\underline{y=0} \rightarrow P(2|0)y=0​→P(2∣0)​

Maximum berechnen: z(2,0)=0+2⋅2=4‾z(2,0)=0+2\cdot2=\underline{4}z(2,0)=0+2⋅2=4​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die Zielfunktion bei einer linearen Optimierung?

Die Zielfunktion ist eine Funktion mit zwei Variablen, deren Wert maximiert werden soll.

Was ist eine Nebenbedingung bei einer linearen Optimierung?

Nebenbedingungen sind Ungleichungen, die den Definitions- und den Wertebereich einschränken.

Was ist eine lineare Optimierung?

Bei der linearen Optimierung soll der Wert einer linearen Funktion (Zielfunktion) maximiert oder minimiert werden.

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