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Lineare Optimierung berechnen

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Lineare Optimierung berechnen

Definition

Bei der linearen Optimierung soll der Wert einer linearen Funktion (Zielfunktion) maximiert oder minimiert werden. Dabei sind der Definitions- und der Wertebereich durch gegebene Nebenbedingungen eingeschränkt.



Begriffe

Zielfunktion

Funktion mit zwei Variablen, deren Wert maximiert werden soll.

z(x,y)=dx+eyz(x,y)=d \cdot x+e \cdot y​​

Nebenbedingungen

Ungleichungen, die den Definitions- und den Wertebereich einschränken.

ax+byc...\begin{aligned}ax+&b y \leq c \\&... \end{aligned}​​



Lösung eines linearen Optimierungsproblems

Zum Lösen benötigt man ein Koordinatensystem.



Vorgehen

1.

Bei allen Ungleichungen yy  allein stellen.

Beachte: Multipliziert oder dividiert man mit einer negativen Zahl, so muss man das Ungleichzeichen umdrehen (<<  zu >>  und umgekehrt).

2.

Ungleichungen jeweils als lineare Funktion im Koordinatensystem einzeichnen:

3.

Einzelne Lösungsbereiche markieren. Für Gleichungen mit:

  • yy \geq​ und y>y> : Markiere den Bereich oberhalb der Linie
  • yy \leq​ und y<y< : Markiere den Bereich unterhalb der Linie

4.

Markiere den Bereich deutlich, wo sich alle einzelnen Lösungsbereiche überdecken.

5.

Wähle einen beliebigen Wert und ersetze zz  mit diesem Wert in der Zielfunktion:

z(x,y)=dx+eyz(x,y)=d \cdot x+e \cdot y​​


Dies definiert eine lineare Funktion y=f(x)y=f(x) . Bestimme die Achsenschnittpunkte dieser Funktion:

  • Setze x=0x=0  und berechne y à y-Achsenschnittpunkt
  • Setze y=0y=0  und berechne x à x-Achsenschnittpunkt

Zeichne die beliebige Zielfunktion anhand der Achsenschnittpunkte ein.

6.

Bestimme den optimalen Punkt:

Verschiebe die Zielfunktion so lange parallel, bis sie den höchsten (beim Maximum) bzw. den tiefsten (beim Minimum) Eckpunkt des Lösungsbereichs erreicht.

7.

Setze die Koordinaten dieses Eckpunkts in die allgemeine Zielfunktion ein und berechne den optimalen Wert der Zielfunktion.



Beispiel

Zielfunktion:  z(x,y)=y+2xz(x,y)=y+2x


Nebenbedingungen:

  1. x2y2x-2y \leq 2
  2.   y2x1y-2x \leq 1
  3.   x+y2x+y\leq 2​​

Nebenbedingungen umformen und einzeichnen:

  1. y0,5x1y \geq 0,5x-1
  2. y2x+1y \leq 2x+1
  3. yx+2y \leq -x+2​​​​
Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Lineare Optimierung berechnen


Beliebige Zielfunktion: z=2z=2

Achsenschnittpunkte: 2=y+202=y2=y+2\cdot0 \rightarrow \underline{2=y}  und 2=0+2x1=x2=0+2x \rightarrow \underline{1=x}

Einzeichnen und parallel verschieben zum Maximum:

Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Lineare Optimierung berechnen


Die Zielfunktion hat ihr Maximum im Punkt: x=2\underline{x=2}  und y=0P(20)\underline{y=0} \rightarrow P(2|0)

Maximum berechnen: z(2,0)=0+22=4z(2,0)=0+2\cdot2=\underline{4}



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Frequently asked questions about credits

Was ist die Zielfunktion bei einer linearen Optimierung?

Was ist eine Nebenbedingung bei einer linearen Optimierung?

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