Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mit der pq-Formel kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen. Es ist also nicht mehr nötig, die Gleichung umzuformen. Außerdem erhält man direkt die Lösungen aus der Formel.

Lösung der Standardform

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform  $$x^2+px+q=0$$​ :

                                                    $$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$, mit $$p, q \in \R$$​​

Diskriminante

Die Diskriminante  $$D=(\frac{p}{2})^2-q$$​  ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.

Eigenschaften

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

• $$D>0$$: Zwei Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$.
• $$D=0$$: Eine Lösung $$x=x_1=x_2$$.
• $$D<0$$: Keine Lösung.
  

​

Gleichung lösen mit der pq-Formel

Vorgehen

Beispiel                                                                                                ​   $$x-6=-x^2$$​                                                                                                                                                         

1. & 2.    Nullgleichung in Normalform:     $$x^2+x-6=0$$​

3.          pq-Formel:  $$p=1, q=-6$$​

                                                $$x_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{(\frac{1}{2})^2+6}$$  und   $$x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{(\frac{1}{2})^2+6}$$

Zwei Lösungen: $$\underline{x_1=2}$$ und $$\underline{x_2=-3}$$

​​