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Mathematik

Quadratische Funktionen und Gleichungen

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

Mit der pq-Formel kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform berechnen. Es ist also nicht mehr nötig, die Gleichung umzuformen. Außerdem erhält man direkt die Lösungen aus der Formel.



Lösung der Standardform

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform  x2+px+q=0x^2+px+q=0 :


                                                    x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}, mit p,qRp, q \in \R​​




Diskriminante

Die Diskriminante  D=(p2)2qD=(\frac{p}{2})^2-q  ist der Term unter der Wurzel der pq-Formel.


Eigenschaften

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • D>0D>0: Zwei Lösungen x1x_1 und x2x_2.
  • D=0D=0: Eine Lösung x=x1=x2x=x_1=x_2.
  • D<0D<0: Keine Lösung.



Gleichung lösen mit der pq-Formel

Vorgehen

1.

Bilde eine Nullgleichung

2.

Stelle die Normalform auf:  x2+px+q=0x^2+px+q=0

Hinweis:  Hat x2x^2 noch einen Faktor, so teile die ganze Gleichung durch diesen.

3.

Wende die pq-Formel an und berechne die Lösungen

           x1=p2+(p2)2qx_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}   und  x1=p2(p2)2qx_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}


Tipp: Beachte die Vorzeichen von pp und qq




Beispiel                                                                                                   x6=x2x-6=-x^2​                                                                                                                                                         

1. & 2.    Nullgleichung in Normalform:     x2+x6=0x^2+x-6=0


3.          pq-Formel:  p=1,q=6p=1, q=-6

                                                x1=12+(12)2+6x_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{(\frac{1}{2})^2+6}  und   x2=12(12)2+6x_2=-\frac{1}{2}-\sqrt{(\frac{1}{2})^2+6}


Zwei Lösungen: x1=2\underline{x_1=2} und x2=3\underline{x_2=-3}


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was muss ich mit einer quadratischen Gleichung machen, bevor ich die pq-Formel anwenden kann?

Was ist eine Diskriminante?

Was ist die pq-Formel?

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