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Mathematik

Vielecke

Flächeninhalt und Umfang regelmäßiger Vielecke

Erklärvideo

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Flächeninhalt und Umfang regelmäßiger Vielecke

Regelmäßige Vielecke

Unter einem regelmäßigem nn-Eck versteht man eine Figur mit nn​ gleichlangen Seiten a, na, \, n​ gleich großen Mittelpunktswinkeln a=360°na=\frac{360\degree}{n} und nn Symmetrieachsen. Ist die Länge aa definiert, so gibt es nur ein eindeutiges regelmäßiges nn-Eck für jedes nn. Zum Beispiel gibt es nur eine Möglichkeit ein Quadrat mit Seitenlänge aa, oder aber auch nur eine Möglichkeit ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge aa zu zeichnen.



Umfang und Fläche regelmäßiger Vielecke

Umfang

Ein regelmäßiges nn-Eck mit Seitenlänge aa​ hat einen trivialen Umfang von

U=naU=n\cdot a​​



Fläche

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen nn-Ecks mit Seitelänge aa lässt sich über verschiedene Formeln für verschiedene nn berechnen. Diese Formeln sind aber in der Regel kompliziert und nicht sehr verständlich, deshalb werden wir sie hier nur der Vollständigkeit halber näherungsweise angeben.


Ohne Formeln lässt sich der Flächeninhalt ganz einfach berechnen, indem man vom Mittelpunkt aus das nn-Eck in gleichseitige Dreiecke aufteilt und dann die Flächen dieser Dreiecke summiert. Hierbei ist es aber hilfreich, wenn die Höhe hh​ auf eine Seitenlänge durch den Mittelpunkt gegeben ist.


nn​-Eck

Fläche

Illustration

5-Eck

(Pentagon)

A1,72a2A\approx1{,}72\cdot a^2​​


A picture containing accessory, worktable  Description automatically generated

6-Eck

(Hexagon)

A2,60a2A\approx 2{,}60\cdot a^2​​

Shape, polygon  Description automatically generated

8-Eck

(Oktagon)

A4,83a2A\approx 4{,}83 \cdot a^2​​

Shape, polygon  Description automatically generated



Umfang und Fläche zusammengesetzter Vielecke

Manchmal sind unregelmäßige nn-Ecke aus einfacheren Figuren zusammengesetzt. So ist es sehr einfach den Umfang und Flächeninhalt zu bestimmen, indem man die Figur in kleinere Teile aufteilt.


Beispiel:
Mathematik; Flächen; 8. Klasse Gymnasium; Flächeninhalt und Umfang regelmäßiger Vielecke

Die linke Figur lässt sich in die rechten 4 Flächen aufteilen. Die Fläche der gesamten Figure ist somit die Summe der Flächen der kleineren Figuren. Wenn jedes Kästchen 1 cm21\,cm^2 groß ist, so ist die Fläche des linken 77-Ecks:

A=F1+F2+F3+F4=(8+2+4+62) cm2=17 cm2A=F1 +F2+F3+F4=(8+2+4+\frac62)\,cm^2=\underline{17\,cm^2}​​


Der Umfang der Figur lässt sich auch leicht berechnen, indem man alle Seitenlängen addiert. Für das ausgeschnittene Dreieck verwenden wir den Satz des Pythagoras. Bei einer Kästchenlänge von 1 cm1\,cm ist der Umfang also:

U=(5+4+1+12+3210+12+32+2+4) cm=(16+210) cmU=(5+4+1+\underbrace{\sqrt{1^2+3^2}}_{\sqrt{10}}+\sqrt{1^2+3^2}+2+4)\,cm=\underline{(16+2\sqrt{10})\,cm}​​


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Umfang und Fläche zusammengesetzter Vielecke?

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks?

Wie berechnet man den Umfang eines regelmäßigen Vielecks?

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