Flächeninhalt und Umfang regelmäßiger Vielecke

Regelmäßige Vielecke

Unter einem regelmäßigem $n$-Eck versteht man eine Figur mit $n$​ gleichlangen Seiten $a, \, n$​ gleich großen Mittelpunktswinkeln $a=\frac{360\degree}{n}$ und $n$ Symmetrieachsen. Ist die Länge $a$ definiert, so gibt es nur ein eindeutiges regelmäßiges $n$​-Eck für jedes $n$. Zum Beispiel gibt es nur eine Möglichkeit ein Quadrat mit Seitenlänge $a$​, oder aber auch nur eine Möglichkeit ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a$ zu zeichnen.

Umfang und Fläche regelmäßiger Vielecke

Umfang

Ein regelmäßiges $n$​-Eck mit Seitenlänge $a$​ hat einen trivialen Umfang von

​$U=n\cdot a$​​

Fläche

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks mit Seitelänge $a$ lässt sich über verschiedene Formeln für verschiedene $n$ berechnen. Diese Formeln sind aber in der Regel kompliziert und nicht sehr verständlich, deshalb werden wir sie hier nur der Vollständigkeit halber näherungsweise angeben.

Ohne Formeln lässt sich der Flächeninhalt ganz einfach berechnen, indem man vom Mittelpunkt aus das $n$​-Eck in gleichseitige Dreiecke aufteilt und dann die Flächen dieser Dreiecke summiert. Hierbei ist es aber hilfreich, wenn die Höhe $h$​ auf eine Seitenlänge durch den Mittelpunkt gegeben ist.

$n$​-Eck	Fläche	Illustration
5-Eck (Pentagon)	​$A\approx1{,}72\cdot a^2$​​
6-Eck (Hexagon)	​$A\approx 2{,}60\cdot a^2$​​
8-Eck (Oktagon)	​$A\approx 4{,}83 \cdot a^2$​​

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Umfang und Fläche zusammengesetzter Vielecke

Manchmal sind unregelmäßige $n$​-Ecke aus einfacheren Figuren zusammengesetzt. So ist es sehr einfach den Umfang und Flächeninhalt zu bestimmen, indem man die Figur in kleinere Teile aufteilt.

Beispiel:

Die linke Figur lässt sich in die rechten 4 Flächen aufteilen. Die Fläche der gesamten Figure ist somit die Summe der Flächen der kleineren Figuren. Wenn jedes Kästchen $1\,cm^2$ groß ist, so ist die Fläche des linken $7$-Ecks:

​$A=F1 +F2+F3+F4=(8+2+4+\frac62)\,cm^2=\underline{17\,cm^2}$​​

Der Umfang der Figur lässt sich auch leicht berechnen, indem man alle Seitenlängen addiert. Für das ausgeschnittene Dreieck verwenden wir den Satz des Pythagoras. Bei einer Kästchenlänge von $1\,cm$ ist der Umfang also:

$U=(5+4+1+\underbrace{\sqrt{1^2+3^2}}_{\sqrt{10}}+\sqrt{1^2+3^2}+2+4)\,cm=\underline{(16+2\sqrt{10})\,cm}$​​