Binomische und trinomische Formeln

Definition

Die binomischen Formeln dienen als Abkürzung beim Multiplizieren von zwei Binomen und beim Faktorisieren von Trinomen.

Binom

Term bestehend aus zwei Gliedern

$$\underbrace{a}_{1.}+\underbrace{b}_{2.}$$​​

Trinom

Term bestehend aus drei Gliedern

$$\underbrace{a^2}_{1.}+\underbrace{2ab}_{2.}+\underbrace{b^2}_{3.}$$​​

Formeln

Du nutzt die binomischen Formeln bei zwei Klammern („Binomen"), wenn diese die folgende Gestalt haben:

$$1. (a+b)(a+b)$$​​

$$2. (a-b)(a-b)$$​​

$$3. (a+b)(a-b)$$​​

1. binomische Formel

​$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$$​

Beispiel

​$$(x+5)^2=x^2+10x+25$$​​

2. binomische Formel

​$$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$$​​

Beispiel

​$$(x-7)^2=x^2-14x+49$$​​

3. binomische Formel

​$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$​​

Beispiel

​$$(4-x)(4+x)=16-x^2$$​​

Hinweis: Werden drei Binome multipliziert, kannst Du folgende Formeln verwenden:

​$$\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\\left(a-b\right)^3=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$​​

​$$(a-b)^3=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$​​

Beispiele

$$\begin{aligned}(x+2)^3&=x^3+6x^2+12x+8\\(x-1)^3&=x^3-3x^2+3x-1\end{aligned}$$​

Mit binomischen Formeln faktorisieren

Die binomischen Formeln können auch dabei helfen, einen Term zu faktorisieren, ihn also als Produkt aus zwei Termen zu schreiben. Dabei wendest Du die binomischen Formeln „rückwärts“ an.

Beispiel

Wie lässt sich der Term $$x^2-20x+100$$ faktorisieren?

Da ein Minus-Zeichen enthalten ist und der Term aus 3 Gliedern besteht, kommt nur die zweite binomische Formel in Frage. Vergleichst Du den Term mit der Formel, und nutzt, dass $$100=10^2$$ ist, so findest Du mit

​$$a=x$$​ und $$b=10$$​​

dass Folgendes gilt:

$$x^2-20x+100=(x-10)^2$$​​

Hinweis:

Nicht jeder Term kann mithilfe der binomischen Formeln faktorisiert werden. Am besten probiert man die Formel, welche am ehesten passt, aus und rechnet nach, ob beim Auflösen der Klammer auch tatsächlich der gegebene Term herauskommt.

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