Es gibt viele verschiedene Parabeln, die durch Strecken, Stauchen und Verschieben aus dem Graphen der Normalparabel hervorgehen. Die Normalparabel wird beschrieben durch die Funktionsgleichung.
Die Funktionsgleichung einer Parabel, die entlang der -Achse verschoben wird, ist gegeben durch
Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
|
| Verschiebung entlang der positiven -Achse („nach oben“) |
 |
|
| Verschiebung entlang der negativen -Achse („nach unten“) |
 |
Bei einer solchen Parabel liegt der Scheitelpunkt mit der -Achse bei .
Die Funktionsgleichung einer Parabel, die entlang der -Achse verschoben wird, ist gegeben durch
Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
|
| Verschiebung entlang der positiven -Achse („nach rechts“) |
 |
|
| Verschiebung entlang der negativen -Achse („nach links“) |
 |
Bei einer solchen Parabel liegt der Scheitelpunkt bei .
Man kann Parabeln außerdem strecken bzw. stauchen. Eine gestreckte oder gestauchte Parabel hat die allgemeine Funktionsgleichung:
Hierbei gibt es folgende Möglichkeiten:
|
| Stauchung der Parabel entlang der -Achse. Die Parabel wird dadurch enger. |
 |
|
| Streckung der Parabel entlang der -Achse. Die Parabel wird dadurch breiter. |
 |
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei , wie bei der Normalparabel.
Ein Spezialfall aus der Streckung bzw. Stauchung von Parabeln ist die Spiegelung der Parabel entlang der -Achse. Diese erhält man wenn ist. In dem Fall ist die Parabel statt nach oben nach unten geöffnet. Äquivalent zu vorher:
|
| Spiegelung an der -Achse. Zusätzlich Stauchung der Parabel entlang der -Achse. Die Parabel wird dadurch enger und ist nun nach unten geöffnet. |
 |
|
| Spiegelung an der -Achse. Zusätzlich Streckung der Parabel entlang der -Achse. Die Parabel wird dadurch weiter und ist nun nach unten geöffnet. |
 |
Hinweis: Für den Fall wird die Parabel nur an der -Achse gespiegelt, behält aber ihre anfängliche Öffnungsweite bei.
Auch hier bleibt der Scheitelpunkt bei .
Die allgemeine Parabelfunktion ist gegeben durch:
Bei Aufgaben soll man beispielsweise aus einem gegebenen Parabelgraphen die Funktionsgleichung herausfinden. Dabei geht man wie folgt vor:
| 1. | Den Scheitelpunkt der Parabel ablesen. Der Scheitelpunkt ist . Die -Koordinate des Scheitelpunktes gibt also den Parameter und die -Koordinate den Parameter . |
| 2. | Beobachten, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist. Ist sie nach oben geöffnet, so ist . Ist sie nach unten geöffnet, ist . |
| 3. | Gehe vom Scheitelpunkt aus um eins nach rechts. Lies an der Stelle den -Wert des Graphen ab. Ziehst du von diesem den Parameter ab, so erhältst du den Parameter . |
| 4. | Stelle anhand der allgemeinen Parabelgleichung und der gefundenen Parameterwerte die Funktionsgleichung auf. |
Der Scheitelpunkt liegt hier bei .
Daher ist und .
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist .
Geht man vom Scheitelpunkt aus um eins nach rechts, also zu und liest dort den Funktionswert ab, so erhält man .
Zieht man davon den Parameter ab, so ergibt sich
Damit kann man nun die Funktionsgleichung der Parabel aufstellen:
Sie geben Dir an, um wieviel sich die Parabel entlang der x- und y-Achse verschoben hat.
Wenn der Parameter c negativ ist, dann spiegelt sich die Parabel entlang der x-Achse und ist nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung der Parabel ist gegeben durch f(x)=-cx^2.
Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung f(x)=x^2. Die (allgemeine) Parabel geht aus der Normalparabel durch Verschiebung, Spiegelung, Streckung oder Stauchung hervor. Ihre Funktionsgleichung ist gegeben als f(x)=c(x-b)^2+a.
Beta
