Strecken von Parabeln

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Lehrperson: Susanne

Zusammenfassung

Strecken von Parabeln

Erklärung

Es gibt viele verschiedene Parabeln, die durch Strecken, Stauchen und Verschieben aus dem Graphen der Normalparabel hervorgehen. Die Normalparabel wird beschrieben durch die Funktionsgleichung.


Verschiebung entlang der yy -Achse

Die Funktionsgleichung einer Parabel, die entlang der yy -Achse verschoben wird, ist gegeben durch

f(x)=x2+af(x)=x^2+a​​


Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

a>0a>0​​

Verschiebung entlang der positiven yy -Achse („nach oben“)

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln

a<0a<0​​

Verschiebung entlang der negativen yy -Achse („nach unten“)

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln


Bei einer solchen Parabel liegt der Scheitelpunkt SS  mit der yy -Achse bei S(0a)S(0|a) .



Verschiebung entlang der xx -Achse

Die Funktionsgleichung einer Parabel, die entlang der xx -Achse verschoben wird, ist gegeben durch

f(x)=(xb)2f(x)=(x-b)^2​​


Dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

b>0b>0​​

Verschiebung entlang der positiven xx -Achse („nach rechts“)

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln

b<0b<0​​

Verschiebung entlang der negativen xx -Achse („nach links“)

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln


Bei einer solchen Parabel liegt der Scheitelpunkt SS  bei S(b0)S(b|0) .


Enge und weite Parabeln

Man kann Parabeln außerdem strecken bzw. stauchen. Eine gestreckte oder gestauchte Parabel hat die allgemeine Funktionsgleichung:

f(x)=cx2f(x)=cx^2​​


Hierbei gibt es folgende Möglichkeiten:

c>1c>1​​

Stauchung der Parabel entlang der xx -Achse. Die Parabel wird dadurch enger.

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln

0<c<10<c<1​​

Streckung der Parabel entlang der xx -Achse. Die Parabel wird dadurch breiter.

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln


Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(00)S(0|0) , wie bei der Normalparabel.



Spiegelung entlang der xx -Achse

Ein Spezialfall aus der Streckung bzw. Stauchung von Parabeln ist die Spiegelung der Parabel entlang der xx​-Achse. Diese erhält man wenn c<0c<0  ist. In dem Fall ist die Parabel statt nach oben nach unten geöffnet. Äquivalent zu vorher:


c<1c<-1​​

Spiegelung an der xx -Achse. Zusätzlich Stauchung der Parabel entlang der xx -Achse.

Die Parabel wird dadurch enger und ist nun nach unten geöffnet.

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln

1<c<0-1<c<0​​

Spiegelung an der xx -Achse. Zusätzlich Streckung der Parabel entlang der xx -Achse.

Die Parabel wird dadurch weiter und ist nun nach unten geöffnet.

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln


Hinweis: Für den Fall c=1c=-1 wird die Parabel nur an der xx​-Achse gespiegelt, behält aber ihre anfängliche Öffnungsweite bei.

Auch hier bleibt der Scheitelpunkt bei S(00)S(0|0).



Allgemeine Parabeln

Die allgemeine Parabelfunktion ist gegeben durch:

f(x)=c(xb)2+af(x)=c(x-b)^2+a​​


Bei Aufgaben soll man beispielsweise aus einem gegebenen Parabelgraphen die Funktionsgleichung herausfinden. Dabei geht man wie folgt vor:

Vorgehen

1.

Den Scheitelpunkt der Parabel ablesen. Der Scheitelpunkt ist S(ba)S(b|a).

Die xx -Koordinate des Scheitelpunktes gibt also den Parameter bb  und die yy -Koordinate den Parameter aa .

2.

Beobachten, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist. Ist sie nach oben geöffnet, so ist c>0c>0.

Ist sie nach unten geöffnet, ist c<0c<0.

3.

Gehe vom Scheitelpunkt aus um eins nach rechts. Lies an der Stelle den yy-Wert des Graphen ab. Ziehst du von diesem den Parameter aa ab, so erhältst du den Parameter cc.

4.

Stelle anhand der allgemeinen Parabelgleichung und der gefundenen Parameterwerte die Funktionsgleichung auf.


Beispiel


Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Strecken von Parabeln


Der Scheitelpunkt liegt hier bei S(52)S(5|2).

Daher ist a=2a=2​ und b=5b=5.


Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist c>0c>0.


Geht man vom Scheitelpunkt aus um eins nach rechts, also zu x=6x=6 und liest dort den Funktionswert ab, so erhält man y=2,5y=2,5.


Zieht man davon den Parameter aa​ ab, so ergibt sich cc

c=2,5a=2,52=0,5c=2,5-a=2,5-2=0,5​​


Damit kann man nun die Funktionsgleichung der Parabel aufstellen:

f(x)=0,5(x5)2+2\underline{f(x)=0,5(x-5)^2+2}​​

                                                   


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie verändern die Parameter a und b die Parabel?

Wie kann ich eine Parabel an der x-Achse spiegeln?

Was ist der Unterschied zwischen einer Parabel und einer Normalparabel?

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