Lineare Gleichungen: Definition & Umformungen

Definition Gleichung

Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich. Ziel ist es, den Wert der Variable auszurechnen, sodass beide Terme den gleichen Wert ergeben. Dafür muss die Variable alleine auf eine Seite der Gleichung gestellt werden. Lineare Gleichungen sind Gleichungen in einer Variable, die in die Form $$x=a$$​  gebracht werden können ($$a$$​  stellt eine Zahl dar).

​$$Linker \, Term = Rechter \, Term$$​​

Beispiel

​$$2x +3 = 6x +7$$​​

Hinweis: Ändert man auf einer Seite der Gleichung etwas, so muss man diese Änderung auch auf der anderen Seite der Gleichung durchführen.

Äquivalenzumformungen - Rechnen mit Gleichungen

Äquivalenzumformungen sind Operationen, die Gleichungen auf beiden Seiten des $$=$$ -Zeichens gleichwertig verändern. Die Waage ändert also seine Neigung nicht, da auf beiden Seiten der Gleichung gleich viel größer oder kleiner wird.

Äquivalenzumformungen werden benutzt, um Gleichungen zu vereinfachen und in weiterer Folge zu lösen. Sie sind also ein wichtiger Bestandteil der Mathematik.

Vorgehen

Summand verschieben

Ziehe die zu verschiebende positive Zahl auf beiden Seiten als negative Zahl ab.

​$$\begin{aligned}4x+2&=10 \quad \quad |-2 \\4x+2-2&=10-2 \\4x&=8\end{aligned}$$​​

Subtrahend verschieben

Addiere die zu verschiebende negative Zahl auf beiden Seiten als positive Zahl dazu.

$$\begin{aligned}4x-2&=10 \quad \quad |+2\\4x-2+2&=10+2 \\4x&=12\end{aligned}$$​​

Faktor verschieben

Teile durch die zu verschiebende Zahl auf beiden Seiten. Teile jeweils die ganze Seite.

$$\begin{aligned}3x-9&=12 \quad \quad |\div3\\(3x-9)\div3&=12\div3 \\x-3&=4\end{aligned}$$​​

Divisor verschieben

Multipliziere die zu verschiebende Zahl auf beiden Seiten. Multipliziere jeweils die ganze Seite.

​$$\begin{aligned}\frac{x}{3}-2&=10 \quad \quad | \cdot 3 \\(\frac{x}{3}-2)\cdot 3 &=10\cdot 3 \\x-6&=30\end{aligned}$$​​

Minus verschieben

Drehe die Vorzeichen der Terme auf beiden Seiten um. 

​$$\begin{aligned}-x&=10 \quad\quad |\cdot (-1) \\+x&= -10\end{aligned}$$​​

Gleichungen auflösen

Ziel ist es, die Variable separat auf eine Seite der Gleichung zu stellen.

Vorgehen

1. Klammern auflösen.
2. Terme auf jeder Seite zusammenfassen.
3. Variablen auf eine Seite bringen.
4. Konstanten (Zahlen) auf die andere Seite bringen.
5. Vorfaktor und Minus der Variable verschieben, falls nötig.

Beispiel

$$\begin{aligned}2\cdot(4x+1)&=3x-(10+x) \\8x+2&=3x-10-x\\8x+&2=2x-10 \qquad &&|-2x \\6x+2&=-10 \qquad &&|-2\\6x&=-12 \qquad &&|\div6\\x&=\underline{-2}\end{aligned}$$