Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Definition

Die Wurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats.

Beispiele

$$\sqrt1=1\qquad \sqrt4=2\qquad \sqrt9=3\qquad \sqrt{16}=4\\\sqrt{25}=5\qquad \sqrt{36}=6\qquad \sqrt{49}=7\qquad \sqrt{64}=8\\\sqrt{81}=9\qquad \sqrt{100}=10\qquad \sqrt{121}=11\qquad \sqrt{144}=12$$​​

Hinweis: Die Wurzel einer ganzen Zahl ist nicht unbedingt eine ganze Zahl. Das Ergebnis kann auch eine unendliche Dezimalzahl sein.

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Beispiele

$$\sqrt{3}=1{,}732\,...\\\sqrt{5}=2{,}236\,...$$​​

Wurzeln mit Exponenten

Die Wurzel halbiert den Exponenten einer Variablen oder Zahl.

Beispiele

$$\sqrt{x^2}=x^{\frac22}=x^1=x\qquad \sqrt{a}=a^{\frac12}\qquad \sqrt{y^6}=y^{\frac62}=y^3\qquad \sqrt{16}=\sqrt{2^4}=4$$​​

Rechenregeln

Addieren und Subtrahieren

Es müssen zuerst die Terme unter der/n Wurzel(n) ausgerechnet werden, bevor die Wurzeln gezogen werden können.

Beispiele

$$\sqrt{9+16}≠\sqrt9+\sqrt{16}=\sqrt{25}=5\\\\\sqrt{25-16}≠\sqrt{25}-\sqrt{16}=\sqrt9=3$$​​

Multiplizieren und Dividieren

Im Unterschied zur Addition und Subtraktion ist es bei der Multiplikation und Division auch möglich, die Wurzeln der einzelnen Komponenten zu ziehen, bevor Du multiplizierst oder dividierst.

​​Beispiele

​$$\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4 \cdot \sqrt{25}\\ \sqrt{\frac{81}{9}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt9}$$​​

Wurzel von Dezimalzahlen ziehen

Vorgehen

1. ​Wandle die Zahl in einen Bruch um.
   
2. Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.

Beispiel

​$$\sqrt{2{,}25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\frac32$$​​

Wurzel-Ergebnis abschätzen

Oft musst Du das Ergebnis einer Wurzel abschätzen, wenn dieses keine ganze Zahl ist.

Vorgehen

1. Nächstkleinere Quadratzahl bestimmen.
   
2. Nächstgrößere Quadratzahl bestimmen.
3. Wurzeln der Quadratzahlen berechnen
   Zwischen diesen liegt das Ergebnis der gesuchten Wurzel.

Beispiel

​$$\sqrt{10}$$ liegt zwischen welchen Zahlen?

Quadratzahl direkt unter $$10$$​: $$9$$​​

Quadratzahl direkt über $$10$$​: $$16$$​​

Bereich: 

​$$\sqrt9<\sqrt{10}<\sqrt{16}$$​​

Wurzeln:

​$$3<\sqrt{10}<4$$​​