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Mathematik

Exponentialfunktion und Logarithmus

Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Erklärvideo

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Definition

Die Wurzel sucht nach der Zahl, welche mit sich selbst multipliziert (quadriert) die Zahl unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrats.


Beispiele

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10121=11144=12\sqrt1=1\qquad \sqrt4=2\qquad \sqrt9=3\qquad \sqrt{16}=4\\\sqrt{25}=5\qquad \sqrt{36}=6\qquad \sqrt{49}=7\qquad \sqrt{64}=8\\\sqrt{81}=9\qquad \sqrt{100}=10\qquad \sqrt{121}=11\qquad \sqrt{144}=12​​


Hinweis: Die Wurzel einer ganzen Zahl ist nicht unbedingt eine ganze Zahl. Das Ergebnis kann auch eine unendliche Dezimalzahl sein.


Beispiele

3=1,732 ...5=2,236 ...\sqrt{3}=1{,}732\,...\\\sqrt{5}=2{,}236\,...​​


Wurzeln mit Exponenten

Die Wurzel halbiert den Exponenten einer Variablen oder Zahl.


Beispiele

x2=x22=x1=xa=a12y6=y62=y316=24=4\sqrt{x^2}=x^{\frac22}=x^1=x\qquad \sqrt{a}=a^{\frac12}\qquad \sqrt{y^6}=y^{\frac62}=y^3\qquad \sqrt{16}=\sqrt{2^4}=4​​



Rechenregeln

Addieren und Subtrahieren

Es müssen zuerst die Terme unter der/n Wurzel(n) ausgerechnet werden, bevor die Wurzeln gezogen werden können.


Beispiele

9+169+16=25=525162516=9=3\sqrt{9+16}≠\sqrt9+\sqrt{16}=\sqrt{25}=5\\\\\sqrt{25-16}≠\sqrt{25}-\sqrt{16}=\sqrt9=3​​


Multiplizieren und Dividieren

Im Unterschied zur Addition und Subtraktion ist es bei der Multiplikation und Division auch möglich, die Wurzeln der einzelnen Komponenten zu ziehen, bevor Du multiplizierst oder dividierst.


​​Beispiele

425=425819=819\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4 \cdot \sqrt{25}\\ \sqrt{\frac{81}{9}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt9}​​


Wurzel von Dezimalzahlen ziehen

Vorgehen

  1. ​Wandle die Zahl in einen Bruch um.
  2. Ziehe die Wurzel von Zähler und Nenner separat.


Beispiel

2,25=225100=225100=1510=32\sqrt{2{,}25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\frac32​​


Wurzel-Ergebnis abschätzen

Oft musst Du das Ergebnis einer Wurzel abschätzen, wenn dieses keine ganze Zahl ist.


Vorgehen

  1. Nächstkleinere Quadratzahl bestimmen.
  2. Nächstgrößere Quadratzahl bestimmen.
  3. Wurzeln der Quadratzahlen berechnen
    Zwischen diesen liegt das Ergebnis der gesuchten Wurzel.


Beispiel

10\sqrt{10} liegt zwischen welchen Zahlen?


Quadratzahl direkt unter 1010​: 99​​

Quadratzahl direkt über 1010​: 1616​​

Bereich

9<10<16\sqrt9<\sqrt{10}<\sqrt{16}​​


Wurzeln:

3<10<43<\sqrt{10}<4​​


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Übungen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man die Wurzel von Dezimalzahlen?

Wie berechnet man Punktrechnungen in der Wurzel?

Wie berechnet man eine Wurzel mit Strichrechnung darin?

Was ist die Wurzel von 2?

Wie rechne ich die Wurzel aus?

Was ist die Wurzel?

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