Quadratische Ungleichungen lösen
Definition
Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen der größte Exponent der Variable 2 ist.
Beispiel
x2−2x−1>2
Quadratische Ungleichungen lösen
Quadratische Ungleichungen löst man wie quadratische Gleichungen. Auf Basis der Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt man die Lösungsmenge.
Vorgehen
1. | Ersetze das Ungleichzeichen durch ein Gleichzeichen. |
2. | Löse die quadratische Gleichung. |
3. | Bestimme mögliche Lösungsintervalle für x
: -
Zwei Lösungen - Drei Intervalle: (1) Links, (2) zwischen und (3) rechts von den Nullstellen.
-
Eine Lösung – Zwei Intervalle: (1) Links und (2) rechts von den Nullstellen.
-
Keine Lösung – Ein Intervall: Alle Zahlen.
|
4. | Prüfe jedes Intervall: Wähle jeweils eine beliebige Zahl aus dem Intervall und überprüfe, ob diese die Ungleichung erfüllt. |
5. | Bestimme die Lösungsmenge L
: Kombiniere die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen. Hinweis: Das Zeichen ∨
bedeutet "oder". Zum Beispiel: L={x∈R\Intervall 1∨Interval 2 }
|
Beispiel
x2−2x−1>2
Quadratische Gleichung:
x2−2x−1=2
Lösungen:
x1=−1 und x2=3
Mögliche Lösungsintervalle:
L1L2L3=(−∞,−1)=(−1,3)=(3,∞)
Überprüfung der Lösungsintervalle mit beliebigen Werten, die innerhalb des jeweiligen möglichen Lösungsintervalls liegen:
L1:
| Prüfe: −2
| (−2)2−2(−2)−1=7>2
| Erfüllt! |
L2:
| Prüfe: 0
| (0)2−2(0)−1=−1>2
| Nicht erfüllt! |
L3
| Prüfe: 4
| (4)2−2(4)−1=7>2
| Erfüllt! |
Daraus ergibt sich folgende Lösungsmenge:
L={x∈R\(−∞<x<−1)∨(3<x<∞)}