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Quadratische Gleichungen

Quadratische Ungleichungen lösen

Erklärvideo

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Quadratische Ungleichungen lösen

Definition

Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen der größte Exponent der Variable 2 ist.


Beispiel 

x22x1>2x^2-2x-1 > 2


​​

 Quadratische Ungleichungen lösen

Quadratische Ungleichungen löst man wie quadratische Gleichungen. Auf Basis der Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt man die Lösungsmenge.



Vorgehen

1.

Ersetze das Ungleichzeichen durch ein Gleichzeichen.

2.

Löse die quadratische Gleichung.

3.

Bestimme mögliche Lösungsintervalle für xx :
  • Zwei Lösungen - Drei Intervalle: (1) Links, (2) zwischen und (3) rechts von den Nullstellen.
  • Eine Lösung – Zwei Intervalle: (1) Links und (2) rechts von den Nullstellen.
  • Keine Lösung – Ein Intervall: Alle Zahlen.

4.

Prüfe jedes Intervall: Wähle jeweils eine beliebige Zahl aus dem Intervall und überprüfe, ob diese die Ungleichung erfüllt.

5.

Bestimme die Lösungsmenge L\mathbb{L} :

Kombiniere die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen.

Hinweis: Das Zeichen \vee  bedeutet "oder".

Zum Beispiel: L={xR\Intervall 1Interval 2 }\mathbb{L}= \{ x \in \R \backslash \text{Intervall 1} \vee \text{Interval 2 } \}



Beispiel

x22x1>2x^2-2x-1 > 2


Quadratische Gleichung:

x22x1=2x^2-2x-1=2​​


Lösungen:

x1=1x_1=-1  und x2=3x_2=3​​



Mögliche Lösungsintervalle:

L1=(,1)L2=(1,3)L3=(3,)\begin{aligned} \mathbb{L}_1 &= (-\infty , -1 ) \\\mathbb{L}_2 &= (-1,3) \\\mathbb{L}_3 &= (3, \infty) \end{aligned}​​


Überprüfung der Lösungsintervalle mit beliebigen Werten, die innerhalb des jeweiligen möglichen Lösungsintervalls liegen:

L1\mathbb{L}_1:​

Prüfe: 2-2

(2)22(2)1=7>2(-2)^2-2(-2)-1=7 >2

Erfüllt!

L2\mathbb{L}_2:​

Prüfe: 00

(0)22(0)1=12(0)^2-2(0)-1=-1 \not{>}2

Nicht erfüllt!

L3\mathbb{L}_3​​

Prüfe: 44

(4)22(4)1=7>2(4)^2-2(4)-1=7>2

Erfüllt!


Daraus ergibt sich folgende Lösungsmenge:

L={xR\(<x<1)(3<x<)}\underline{ \mathbb{L}=\{ x \in \R \backslash (-\infty < x < -1 ) \vee (3< x < \infty )\} }




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Relationszeichen kann eine Ungleichung haben?

Wie kann man quadratische Ungleichungen lösen?

Was ist eine quadratische Ungleichung?

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