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Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Quadratische Ungleichungen lösen

Definition

Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen der größte Exponent der Variable 2 ist.


Beispiel 

​x2−2x−1>2x^2-2x-1 > 2x2−2x−1>2


​​

 Quadratische Ungleichungen lösen

Quadratische Ungleichungen löst man wie quadratische Gleichungen. Auf Basis der Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt man die Lösungsmenge.



Vorgehen

1.

Ersetze das Ungleichzeichen durch ein Gleichzeichen.

2.

Löse die quadratische Gleichung.

3.
Bestimme mögliche Lösungsintervalle für xxx​ :
  • Zwei Lösungen - Drei Intervalle: (1) Links, (2) zwischen und (3) rechts von den Nullstellen.
  • Eine Lösung – Zwei Intervalle: (1) Links und (2) rechts von den Nullstellen.
  • Keine Lösung – Ein Intervall: Alle Zahlen.

4.

Prüfe jedes Intervall: Wähle jeweils eine beliebige Zahl aus dem Intervall und überprüfe, ob diese die Ungleichung erfüllt.

5.

Bestimme die Lösungsmenge L\mathbb{L}L​ :

Kombiniere die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen.

Hinweis: Das Zeichen ∨\vee∨  bedeutet "oder".

Zum Beispiel: L={x∈R\Intervall 1∨Interval 2 }\mathbb{L}= \{ x \in \R \backslash \text{Intervall 1} \vee \text{Interval 2 } \}L={x∈R\Intervall 1∨Interval 2 }​



Beispiel

x2−2x−1>2x^2-2x-1 > 2x2−2x−1>2​


Quadratische Gleichung:

x2−2x−1=2x^2-2x-1=2x2−2x−1=2​​


Lösungen:

x1=−1x_1=-1 x1​=−1 und x2=3x_2=3x2​=3​​


​

Mögliche Lösungsintervalle:

L1=(−∞,−1)L2=(−1,3)L3=(3,∞)\begin{aligned} \mathbb{L}_1 &= (-\infty , -1 ) \\\mathbb{L}_2 &= (-1,3) \\\mathbb{L}_3 &= (3, \infty) \end{aligned}L1​L2​L3​​=(−∞,−1)=(−1,3)=(3,∞)​​​


Überprüfung der Lösungsintervalle mit beliebigen Werten, die innerhalb des jeweiligen möglichen Lösungsintervalls liegen:

​L1\mathbb{L}_1L1​:​

Prüfe: −2-2−2

​(−2)2−2(−2)−1=7>2(-2)^2-2(-2)-1=7 >2(−2)2−2(−2)−1=7>2​

Erfüllt!

​L2\mathbb{L}_2L2​:​

Prüfe: 000

​(0)2−2(0)−1=−1≯2(0)^2-2(0)-1=-1 \not{>}2(0)2−2(0)−1=−1>2​

Nicht erfüllt!

​L3\mathbb{L}_3L3​​​

Prüfe: 444

​(4)2−2(4)−1=7>2(4)^2-2(4)-1=7>2 (4)2−2(4)−1=7>2​

Erfüllt!


Daraus ergibt sich folgende Lösungsmenge:

L={x∈R\(−∞<x<−1)∨(3<x<∞)}‾\underline{ \mathbb{L}=\{ x \in \R \backslash (-\infty < x < -1 ) \vee (3< x < \infty )\} }L={x∈R\(−∞<x<−1)∨(3<x<∞)}​



​

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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Rechengesetze kennen und anwenden

Teil 1

Rechengesetze kennen und anwenden

Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen

Teil 2

Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen

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Quadratische Ungleichungen lösen

Teil 3

Quadratische Ungleichungen lösen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Relationszeichen kann eine Ungleichung haben?

Eine Ungleichung kann 4 verschiedene Relationszeichen haben: größer, größer gleich, kleiner und kleiner gleich.

Wie kann man quadratische Ungleichungen lösen?

Man kann quadratische Ungleichungen lösen, indem man zuerst die zugehörige quadratische Gleichung löst und auf dieser Grundlage die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung bestimmt.

Was ist eine quadratische Ungleichung?

Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der der höchste Exponent der Unbekannten eine 2 ist.

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