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Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente durchführen: Grundbegriffe

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Zufallsexperimente durchführen: Grundbegriffe 

Definition

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen, nicht vorhersagbaren Ergebnis; zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnismenge Ω\mathbf{\Omega} bezeichnet, wobei die einzelnen Ergebnisse als  ω1,  ω2, ω3{\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{1},\ {\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{2},{\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{3}... bezeichnet werden.


Grundbegriffe

ZUFALLSEXPERIMENT

untersuchter Versuch mit zufälligem Ausgang

ERGEBNIS ω\omega

möglicher Ausgang des Zufallsexperiments

ERGEBNISMENGE Ω\Omega

Menge aller Ausgänge, auch Ergebnisraum genannt

EREIGNIS EE

untersuchte Teilmenge des Ergebnisraums

EREIGNISMENGE P(Ω)\mathcal{P}(\Omega)

Menge aller Ereignisse, auch Ereignisraum genannt


Häufig untersucht man eine bestimmte Teilmenge des Ergebnisraums (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Diese Teilmenge wird als Ereignis E\mathbf{E} bezeichnet.

Die Menge aller möglichen Ereignisse (z.B. ungerade Zahl würfeln, eine Zahl unter 3 Würfeln, etc.) heißt Ereignismenge P(Ω)\mathbf{P}(\mathbf{\Omega}). In der Ereignismenge sind auch Ereignisse miteinbegriffen, die nicht eintreten können (z.B. keine Augenzahl würfeln). 


Beispiel 1: Sechsseitiger Würfel

Zufallsexperiment

Würfel werfen


Ergebnis ω\omega

eine „5“ würfeln

ω=5\omega=5​​

Ergebnisraum  Ω\ \mathrm{\Omega}

Menge aller Augenzahlen

Ω=1,2,3,4,5,6\mathrm{\Omega}={1,2,3,4,5,6}​​

Ereignis EE

eine gerade Zahl würfeln

E=2,4,6E={2,4,6}​​

Ereignisraum  P(Ω)\ \mathcal{P}(\mathrm{\Omega})

Menge aller Ereignisse

P(Ω)={{},{1},...,{1,2,3,4,5,6}}{P}({\Omega})= \lbrace\lbrace\rbrace,\lbrace 1 \rbrace,...,\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace\rbrace​​


Beispiel 2: Münze

Zufallsexperiment

Münze werfen

​​​

Ergebnis 

„Kopf“ werfen

ω=Kopf\omega= Kopf​​

Ergebnisraum

„Kopf“ und „Zahl“

Ω={Kopf,Zahl}\mathrm{\Omega}=\lbrace Kopf, Zahl\rbrace​​

Ereignis 

„Kopf“ werfen

E={Kopf}E=\lbrace Kopf \rbrace​​

Ereignisraum

Menge aller Ereignisse

P(Ω)={},{Kopf},{Zahl} ,{Kopf,Zahl}}\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})=\lbrace \rbrace,\lbrace Kopf \rbrace,\lbrace Zahl \rbrace\ ,\lbrace Kopf,Zahl\rbrace\rbrace​​



Zufallsgrößen

Oftmals sind in Zufallsexperimenten nicht die Ergebnisse selbst interessant, sondern andere Größen, welche auch vom Zufall abhängen.


Definition

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen reellen Wert zu.


Diskrete Zufallsgrößen

Diskrete Zufallsgrößen haben endlich oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte.


Beispiele
  • Anzahl Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
  • Anzahl Mädchen in einer Klasse

Stetige Zufallsgrößen

Stetige Zufallsgrößen können jeden reellen Wert annehmen.


Beispiel: Körpergröße einer Person



Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu.


Ergebnis
ω1\omega_1​​
ω2\omega_2​​
...
ωn\omega_n​​
Wahrscheinlichkeit
p1p_1​​
p2p_2​​
...
pnp_n​​


Hinweis: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist immer 1 (bzw. p1,p2,...pn.p_1,p_2,...p_n.100%100\%).


Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird immer in Relation zu der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse definiert. 

Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es beispielsweise sechs mögliche Ergebnisse (die Zahlen 1 bis 6), von denen eines eintreten muss. Die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse ist deshalb 1/61/6. 


Beispiel 1 - Sechsseitigen Würfel einmal werfen und die Augenzahl beobachten.

Ergebnis
11​​
22​​
33​​
44​​
55​​
66​​
Wahrscheinlichkeit
16\frac16​​
16\frac16​​
16\frac16​​
16\frac16​​
16\frac16​​
16\frac16​​


Mögliches Ereignis: Eine Zahl kleiner als 4 würfeln.

E=1,2,3E={1,2,3}​​


Beispiel 2 - Münze dreimal werfen (Z=Z= Zahl, K=K= Kopf).

Ergebnis
ZZZZZZ​​
ZZKZZK​​
ZKKZKK​​
ZKZZKZ​​
KKKKKK​​
KZZKZZ​​
KKZKKZ​​
KZKKZK​​
Wahrscheinlichkeit
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​
18\frac18​​


Mögliches Ereignis: Mindestens zweimal Kopf werfen.

E=ZKK,KKK,KKZ,KZKE={ZKK,KKK,KKZ,KZK}​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Ereignis?

Was ist ein Zufallsexperiment?

Welche Zufallsexperimente gibt es?

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