Zufallsexperimente durchführen: Grundbegriffe 

Definition

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen, nicht vorhersagbaren Ergebnis; zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnismenge $$\mathbf{\Omega}$$​ bezeichnet, wobei die einzelnen Ergebnisse als $${\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{1},\ {\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{2},{\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{3}$$​... bezeichnet werden.

Grundbegriffe

Häufig untersucht man eine bestimmte Teilmenge des Ergebnisraums (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Diese Teilmenge wird als Ereignis $$\mathbf{E}$$​ bezeichnet.

Die Menge aller möglichen Ereignisse (z.B. ungerade Zahl würfeln, eine Zahl unter 3 Würfeln, etc.) heißt Ereignismenge $$\mathbf{P}(\mathbf{\Omega})$$​. In der Ereignismenge sind auch Ereignisse miteinbegriffen, die nicht eintreten können (z.B. keine Augenzahl würfeln). 

Beispiel 1: Sechsseitiger Würfel

Beispiel 2: Münze

Zufallsgrößen

Oftmals sind in Zufallsexperimenten nicht die Ergebnisse selbst interessant, sondern andere Größen, welche auch vom Zufall abhängen.

Definition

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen reellen Wert zu.

Diskrete Zufallsgrößen

Diskrete Zufallsgrößen haben endlich oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte.

Beispiele

• Anzahl Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
  
• Anzahl Mädchen in einer Klasse
  

Stetige Zufallsgrößen

Stetige Zufallsgrößen können jeden reellen Wert annehmen.

Beispiel: Körpergröße einer Person

Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu.

Hinweis: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist immer 1 (bzw. $$p_1,p_2,...p_n.$$$$100\%$$).

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird immer in Relation zu der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse definiert. 

Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es beispielsweise sechs mögliche Ergebnisse (die Zahlen 1 bis 6), von denen eines eintreten muss. Die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse ist deshalb $$1/6$$​. 

Beispiel 1 - Sechsseitigen Würfel einmal werfen und die Augenzahl beobachten.

Mögliches Ereignis: Eine Zahl kleiner als 4 würfeln.

$$E={1,2,3}$$​​

Beispiel 2 - Münze dreimal werfen ($$Z=$$ Zahl, $$K=$$​ Kopf).

Mögliches Ereignis: Mindestens zweimal Kopf werfen.

$$E={ZKK,KKK,KKZ,KZK}$$​​