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Zufallsexperimente durchführen: Grundbegriffe

Definition

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen, nicht vorhersagbaren Ergebnis; zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$  bezeichnet, wobei die einzelnen Ergebnisse als ${\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{1},\ {\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{2},{\ \mathbf{\omega}}_\mathbf{3}$ ... bezeichnet werden.

Grundbegriffe

ZUFALLSEXPERIMENT	untersuchter Versuch mit zufälligem Ausgang
ERGEBNIS $\omega$	möglicher Ausgang des Zufallsexperiments
ERGEBNISMENGE $\Omega$	Menge aller Ausgänge, auch Ergebnisraum genannt
EREIGNIS $E$	untersuchte Teilmenge des Ergebnisraums
EREIGNISMENGE $\mathcal{P}(\Omega)$	Menge aller Ereignisse, auch Ereignisraum genannt

Häufig untersucht man eine bestimmte Teilmenge des Ergebnisraums (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Diese Teilmenge wird als Ereignis $\mathbf{E}$  bezeichnet.

Die Menge aller möglichen Ereignisse (z.B. ungerade Zahl würfeln, eine Zahl unter 3 Würfeln, etc.) heißt Ereignismenge $\mathbf{P}(\mathbf{\Omega})$ . In der Ereignismenge sind auch Ereignisse miteinbegriffen, die nicht eintreten können (z.B. keine Augenzahl würfeln).

Beispiel 1: Sechsseitiger Würfel

Zufallsexperiment	Würfel werfen
Ergebnis $\omega$	eine „5“ würfeln	$\omega=5$
Ergebnisraum $\ \mathrm{\Omega}$	Menge aller Augenzahlen	$\mathrm{\Omega}={1,2,3,4,5,6}$
Ereignis $E$	eine gerade Zahl würfeln	$E={2,4,6}$
Ereignisraum $\ \mathcal{P}(\mathrm{\Omega})$	Menge aller Ereignisse	${P}({\Omega})= \lbrace\lbrace\rbrace,\lbrace 1 \rbrace,...,\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace\rbrace$

Beispiel 2: Münze

Zufallsexperiment	Münze werfen
Ergebnis	„Kopf“ werfen	$\omega= Kopf$
Ergebnisraum	„Kopf“ und „Zahl“	$\mathrm{\Omega}=\lbrace Kopf, Zahl\rbrace$
Ereignis	„Kopf“ werfen	$E=\lbrace Kopf \rbrace$
Ereignisraum	Menge aller Ereignisse	$\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})=\lbrace \rbrace,\lbrace Kopf \rbrace,\lbrace Zahl \rbrace\ ,\lbrace Kopf,Zahl\rbrace\rbrace$

Zufallsgrößen

Oftmals sind in Zufallsexperimenten nicht die Ergebnisse selbst interessant, sondern andere Größen, welche auch vom Zufall abhängen.

Definition

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen reellen Wert zu.

Diskrete Zufallsgrößen

Diskrete Zufallsgrößen haben endlich oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte.

Beispiele

Anzahl Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
Anzahl Mädchen in einer Klasse

Stetige Zufallsgrößen

Stetige Zufallsgrößen können jeden reellen Wert annehmen.

Beispiel: Körpergröße einer Person

Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu.

Ergebnis	$\omega_1$	$\omega_2$	...	$\omega_n$
Wahrscheinlichkeit	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

Hinweis: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist immer 1 (bzw. $p_1,p_2,...p_n.$ $100\%$ ).

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird immer in Relation zu der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse definiert.

Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es beispielsweise sechs mögliche Ergebnisse (die Zahlen 1 bis 6), von denen eines eintreten muss. Die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse ist deshalb $1/6$ .

Beispiel 1 - Sechsseitigen Würfel einmal werfen und die Augenzahl beobachten.

Ergebnis	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wahrscheinlichkeit	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$

Mögliches Ereignis: Eine Zahl kleiner als 4 würfeln.

$E={1,2,3}$ 

Beispiel 2 - Münze dreimal werfen ( $Z=$ Zahl, $K=$ Kopf).

Ergebnis	$ZZZ$	$ZZK$	$ZKK$	$ZKZ$	$KKK$	$KZZ$	$KKZ$	$KZK$
Wahrscheinlichkeit	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$

Mögliches Ereignis: Mindestens zweimal Kopf werfen.

$E={ZKK,KKK,KKZ,KZK}$ 

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4 Aufgaben

Mittel

3 Aufgaben

Schwierig

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Ereignis?

Ein Ereignis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist immer eine Teilmenge aller möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit einem zufälligen, nicht vorhersagbaren Ergebnis, zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Man kann nicht vorhersagen, ob man die Zahl 1,2,3,4,5 oder 6 würfelt.

Welche Zufallsexperimente gibt es?

Ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das einmalige Werfen eines Würfels oder einer Münze.

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ZUFALLSEXPERIMENT	untersuchter Versuch mit zufälligem Ausgang
ERGEBNIS $\omega$	möglicher Ausgang des Zufallsexperiments
ERGEBNISMENGE $\Omega$	Menge aller Ausgänge, auch Ergebnisraum genannt
EREIGNIS $E$	untersuchte Teilmenge des Ergebnisraums
EREIGNISMENGE $\mathcal{P}(\Omega)$	Menge aller Ereignisse, auch Ereignisraum genannt

Häufig untersucht man eine bestimmte Teilmenge des Ergebnisraums (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Diese Teilmenge wird als Ereignis $\mathbf{E}$  bezeichnet.

Beispiel 1: Sechsseitiger Würfel

Zufallsexperiment	Würfel werfen
Ergebnis $\omega$	eine „5“ würfeln	$\omega=5$
Ergebnisraum $\ \mathrm{\Omega}$	Menge aller Augenzahlen	$\mathrm{\Omega}={1,2,3,4,5,6}$
Ereignis $E$	eine gerade Zahl würfeln	$E={2,4,6}$
Ereignisraum $\ \mathcal{P}(\mathrm{\Omega})$	Menge aller Ereignisse	${P}({\Omega})= \lbrace\lbrace\rbrace,\lbrace 1 \rbrace,...,\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace\rbrace$

Beispiel 2: Münze

Zufallsexperiment	Münze werfen
Ergebnis	„Kopf“ werfen	$\omega= Kopf$
Ergebnisraum	„Kopf“ und „Zahl“	$\mathrm{\Omega}=\lbrace Kopf, Zahl\rbrace$
Ereignis	„Kopf“ werfen	$E=\lbrace Kopf \rbrace$
Ereignisraum	Menge aller Ereignisse	$\mathcal{P}(\mathrm{\Omega})=\lbrace \rbrace,\lbrace Kopf \rbrace,\lbrace Zahl \rbrace\ ,\lbrace Kopf,Zahl\rbrace\rbrace$

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Oftmals sind in Zufallsexperimenten nicht die Ergebnisse selbst interessant, sondern andere Größen, welche auch vom Zufall abhängen.

Definition

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen reellen Wert zu.

Diskrete Zufallsgrößen

Diskrete Zufallsgrößen haben endlich oder abzählbar unendlich viele mögliche Werte.

Beispiele

Anzahl Würfe, bis eine 5 gewürfelt wird
Anzahl Mädchen in einer Klasse

Stetige Zufallsgrößen

Stetige Zufallsgrößen können jeden reellen Wert annehmen.

Beispiel: Körpergröße einer Person

Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu.

Ergebnis	$\omega_1$	$\omega_2$	...	$\omega_n$
Wahrscheinlichkeit	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

Hinweis: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist immer 1 (bzw. $p_1,p_2,...p_n.$ $100\%$ ).

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird immer in Relation zu der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse definiert.

Beispiel 1 - Sechsseitigen Würfel einmal werfen und die Augenzahl beobachten.

Ergebnis	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Wahrscheinlichkeit	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$

Mögliches Ereignis: Eine Zahl kleiner als 4 würfeln.

$E={1,2,3}$ 

Beispiel 2 - Münze dreimal werfen ( $Z=$ Zahl, $K=$ Kopf).

Ergebnis	$ZZZ$	$ZZK$	$ZKK$	$ZKZ$	$KKK$	$KZZ$	$KKZ$	$KZK$
Wahrscheinlichkeit	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$	$\frac18$

Mögliches Ereignis: Mindestens zweimal Kopf werfen.

$E={ZKK,KKK,KKZ,KZK}$ 

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Ereignis?

Ein Ereignis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist immer eine Teilmenge aller möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Welche Zufallsexperimente gibt es?

Ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel das einmalige Werfen eines Würfels oder einer Münze.