Aufgaben mit linearen Funktionen

Funktionsgleichung bestimmen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann anhand verschiedener Merkmale bestimmt werden. Im Folgenden findest Du eine mögliche Auswahl davon:

Mit Steigung m und einem Punkt P

Die Steigung und ein Punkt der Gerade sind gegeben.

Vorgehen

1. Setze die Steigung $$m$$​ in die Funktionsgleichung ein: $$y=m \cdot x+b$$​
   
2. Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert vom $$y$$- Achsenabschnitt $$b$$.

Beispiel: 

 $$m=2, \ P(1|-1)$$ ​

Daraus folgt der $$y$$​ -Achsenabschnitt $$b=-3$$ , und somit die Funktionsgleichung:

$$\underline{y=2 \cdot x-3}$$

Mit zwei Punkten P und Q

Zwei Punkte der Gerade sind gegeben.

1. ​Berechne die Steigung $$m$$​ mithilfe der Änderungen in $$x$$​- und $$y$$-Richtung vom Punkt P zu Punkt Q: $$m= \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$$​  ​
   
2. Setze die Steigung $$m$$​ in die Funktionsgleichung ein: $$y=m\cdot x+b$$​
   
3. Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt $$b$$.

Beispiel:

​$$P(1|-1) \ , \ Q(2|2)$$​​

Steigung berechnen: 

​$$m=\frac{2-(-1)}{2-1}=3$$​​

Steigung in Funktionsgleichung einsetzen:

​$$y=3\cdot x+b$$​​

Einen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und $$b$$ berechnen:

​$$-1=3\cdot 1+b \\b=-4\\y=3 \cdot x-4$$​​

Gerade in ein Koordinatensystem zeichnen

Anhand von zwei Punkten

Vorgehen

1. Zeichne beide Punkte ein.
   
2. Verbinde die Punkte mit einer Geraden.

Anhand einer Geradengleichung

Vorgehen

1. ​Zeichne den $$y$$​-Achsenschnittpunkt ein.
   
2. Erstelle ein Steigungsdreieck mit Steigung $$m$$ ausgehend vom $$y$$​-Achsenschnittpunkt.
   

Nullpunkte bestimmen

Ein Nullpunkt ist ein Punkt, an dem der Graph der Funktion sich mit der x-Achse schneidet. Bei einer linearen Funktion gibt es dabei drei Fälle:

1. Wenn die Steigung ungleich $$0$$​ ist, hat die Funktion genau einen Nullpunkt.
   
2. Wenn die Steigung gleich $$0$$​ ist und der $$y$$​-Achsenabschnitt gleich $$0$$​ ist, dann sind alle Punkte auf der $$x$$​-Achse Nullpunkte.
   
3. Wenn die Steigung gleich $$0$$​ ist und der $$y$$​-Achsenabschnitt ungleich $$0$$​ ist, dann gibt es keine Nullpunkte.
   

Vorgehen

1. ​Bestimme die Funktionsgleichung wie oben gezeigt.
   
2. Kontrolliere, dass die Steigung nicht gleich $$0$$​ ist.
   
3. Setze $$y$$​ in der Funktionsgleichung auf $$0$$​.
   
4. Löse die Gleichung nach $$x$$​ auf.

Beispiel:

Funktionsgleichung: $$y=2\cdot x-3$$​​

Kontrolliere die Steigung. Sie ist ungleich Null, deswegen gibt es genau einen Nullpunkt.

​$$y=2\cdot x-3 \\m=2$$​​

Setze $$y=0$$​:

​$$0=2\cdot x-3$$​​

Löse nach $$x$$​ auf:

​$$\begin{aligned}3&=2\cdot x \\x&= \frac{3}{2} \end{aligned}$$​​

Der Nullpunkt ist $$P(1{,}5 |0)$$​.