Aufgaben mit linearen Funktionen

Funktionsgleichung bestimmen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann anhand verschiedener Merkmale bestimmt werden. Im Folgenden findest Du eine mögliche Auswahl davon:

Mit Steigung m und einem Punkt P

Die Steigung und ein Punkt der Gerade sind gegeben.

Vorgehen

Setze die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein: $y=m \cdot x+b$
Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert vom $y$ - Achsenabschnitt $b$ .

Beispiel:

$m=2, \ P(1|-1)$

$\begin{aligned} y&=2 \cdot x+b \\-1&= 2 \cdot 1 +b\end{aligned}$ 

Daraus folgt der $y$ -Achsenabschnitt $b=-3$ , und somit die Funktionsgleichung:

$\underline{y=2 \cdot x-3}$

Mit zwei Punkten P und Q

Zwei Punkte der Gerade sind gegeben.

Berechne die Steigung $m$ mithilfe der Änderungen in $x$ - und $y$ -Richtung vom Punkt P zu Punkt Q: $m= \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$
Setze die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein: $y=m\cdot x+b$
Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und berechne den Wert von Achsenabschnitt $b$ .

Beispiel:

$P(1|-1) \ , \ Q(2|2)$

Steigung berechnen:

$m=\frac{2-(-1)}{2-1}=3$

Steigung in Funktionsgleichung einsetzen:

$y=3\cdot x+b$

Einen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und $b$ berechnen:

$-1=3\cdot 1+b \\b=-4\\y=3 \cdot x-4$

Gerade in ein Koordinatensystem zeichnen

Anhand von zwei Punkten

Vorgehen

Zeichne beide Punkte ein.
Verbinde die Punkte mit einer Geraden.

Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Aufgaben mit linearen Funktionen

Anhand einer Geradengleichung

Vorgehen

Zeichne den $y$ -Achsenschnittpunkt ein.
Erstelle ein Steigungsdreieck mit Steigung $m$ ausgehend vom $y$ -Achsenschnittpunkt.

Mathematik; Lineare Funktionen; 7. Klasse Gymnasium; Aufgaben mit linearen Funktionen

Nullpunkte bestimmen

Ein Nullpunkt ist ein Punkt, an dem der Graph der Funktion sich mit der x-Achse schneidet. Bei einer linearen Funktion gibt es dabei drei Fälle:

Wenn die Steigung ungleich $0$ ist, hat die Funktion genau einen Nullpunkt.
Wenn die Steigung gleich $0$ ist und der $y$ -Achsenabschnitt gleich $0$ ist, dann sind alle Punkte auf der $x$ -Achse Nullpunkte.
Wenn die Steigung gleich $0$ ist und der $y$ -Achsenabschnitt ungleich $0$ ist, dann gibt es keine Nullpunkte.

Vorgehen

Bestimme die Funktionsgleichung wie oben gezeigt.
Kontrolliere, dass die Steigung nicht gleich $0$ ist.
Setze $y$ in der Funktionsgleichung auf $0$ .
Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Beispiel:

Funktionsgleichung: $y=2\cdot x-3$

Kontrolliere die Steigung. Sie ist ungleich Null, deswegen gibt es genau einen Nullpunkt.

$y=2\cdot x-3 \\m=2$

Setze $y=0$ :

$0=2\cdot x-3$

Löse nach $x$ auf:

$\begin{aligned}3&=2\cdot x \\x&= \frac{3}{2} \end{aligned}$

Der Nullpunkt ist $P(1{,}5 |0)$ .