Heron-Algorithmus: Definition, Vorgehen & Beispiel
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Heron-Algorithmus: Definition, Vorgehen & Beispiel
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Zusammenfassung
Heron-Algorithmus: Definition, Vorgehen & Beispiel
Der Heron-Algorithmus wird verwendet, um den Wert der Quadratwurzel von natürlichen Zahlen abzuschätzen.
Definition
Die Idee des Heron-Algorithmus ist es, für eine natürliche Zahl zwei Zahlen zu finden, für welche das Produkt gleich ist, also . Diese zwei Zahlen werden dann als Seitenlängen eines Rechtecks mit Fläche interpretiert. Danach werden immer weiter Seitenlängen von Rechtecken mit Fläche berechnet, sodass diese Seitenlängen gegen konvergieren. Wie oft die Schritte im folgenden Vorgehen wiederholt werden, kann entweder vorher definiert werden oder davon abhängig gemacht werden, wie genau die Approximation sein soll.
Vorgehen
| 1. | Wähle zwei Zahlen , sodass . Setzte und bestimme, wie genau die Approximation sein soll oder wie oft das Vorgehen wiederholt werden soll. |
| 2. | Berechne und |
| 3. | Addiere 1 zu (). Gehe zurück zu Schritt 2, falls die Approximation noch nicht genau genug ist oder noch nicht oft genug wiederholt wurde. Fahre sonst mit Schritt 4 fort. |
| 4. | Die Approximation ist . |
Durch die Approximation einer neuen Seitenlänge als Mittelwert der vorherigen zwei Seitenlängen, nähern sich die Werte immer weiter dem Wert an. Je öfter die Schritte 2 und 3 ausgeführt werden, desto genauer wird die Approximation.
Beispiel – Berechne eine Näherung mit dem Heron-Algorithmus.
| 1. | Wähle und setzt . In 3 Schritten soll approximiert werden. |
| 2.1 | ,
|
| 3.1 | Setze und gehe zurück zu Schritt 2. |
| 2.2 |
|
| 3.2 | Setze und gehe zurück zu Schritt 2. |
| 2.3 |
|
| 3.3 | Setze und beende mit Schritt 4. |
| 4. | Die Approximation ist . |
Die Näherung von , die durch den Heron-Algorithmus in drei Schritten und mit den Anfangswerten und bestimmt wurde, ist damit . Zum Vergleich ist der genaue Wert von auf die ersten vier Stellen gerundet , es wurde also nach nur 3 Schritten eine gute Näherung berechnet!
Veranschaulichung der Iterationsstufen als Rechtecke der Fläche n, mit helleren Graustufen für spätere Iterationsschritte:
Hinweis: Für größere , also fortgeschrittenere Iterationsstufen, nähert sich das Rechteck immer weiter einem Quadrat mit Seitenlänge .
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was passiert bei immer höher werdenden Iterationsstufen?
Für größere i, also fortgeschrittenere Iterationsstufen, nähert sich das Rechteck immer weiter einem Quadrat mit Seitenlänge √n.
Wie funktioniert der Heron-Algorithmus?
Die Idee des Heron-Algorithmus ist es, für eine natürliche Zahl n zwei Zahlen x,y zu finden, für welche das Produkt gleich n ist, also x∙y=n. Diese zwei Zahlen werden dann als Seitenlängen eines Rechtecks mit Fläche n interpretiert. Danach werden immer weiter Seitenlängen von Rechtecken mit Fläche n berechnet, so dass diese Seitenlängen gegen √n konvergieren.
Wofür wird der Heron-Algorithmus verwendet?
Der Heron-Algorithmus wird verwendet, um den Wert der Quadratwurzel von natürlichen Zahlen abzuschätzen.