Anwendungen von linearen Gleichungen

Bei diesen Aufgaben wird in einem oder mehreren Sätzen ein linearer Zusammenhang beschrieben, bei dem eine oder mehrere Größen unbekannt sind. Mithilfe von Gleichungen können die Werte der unbekannten Größen dann berechnet werden.

Allgemeines Vorgehen

Dieses Vorgehen kann man bei jeder Satzaufgabe anwenden, welche man mit Gleichungen löst:

Vorgehen

1.	Text sorgfältig durchlesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen. Zum Beispiel: Unbekannte, Verhältnisse zwischen Unbekannten oder welche Terme man gleichsetzen muss.
2.	Erstelle eine Tabelle: Kopfzeile: Unbekannte Größen Zweite Zeile: Variablen und Zusammenhänge Anmerkung: Bei Aufgaben, in denen sich die Größen über die Zeit verändern oder es mehrere Informationen gibt, kann die Tabelle auch mehr als 2 Zeilen haben.
3.	Variable: Setze eine Variable für eine unbekannte Größe ein. Terme: Beschreibe die andere unbekannte Größe als Term mit dieser Variable.
4.	Gleichung: Erstelle mit dem Verhältnis zwischen den Termen aus dem Text und den Variablen eine Gleichung.
5.	Löse die Gleichung durch Äquivalenzumformungen.
6.	Bestimme den Wert der gesuchten Größe(n).
7.	Schreib einen Lösungssatz zur Beantwortung der Sachaufgabe.

Beispiel 1:

Timon ist doppelt so alt wie Simon. Zusammen sind sie 30 Jahre alt. Wie alt ist Timon?

Unbekannte:

Alter Simon	Alter Timon

\rightarrow

$x$ : Alter von Simon

Alter Simon	Alter Timon
$x$	$2x$

Gleichung aufstellen durch einsetzen der Terme in die Bedingung „zusammen 30 Jahre alt“

$30=x+2x$

Auflösen nach x:

$30=3x \qquad |:3 \\x=10$

Alter von Timon bestimmen durch Nebenbedingung „doppelt so alt“:

$\underline{2x=20}$

Simon ist also $10$ Jahre alt und Timon ist $20$ Jahre alt.

Beispiel 2:

Tina ist 8 Jahre älter als Nina. In 3 Jahren ist Tina doppelt so alt wie Nina. Wie alt sind Nina und Tina heute?

Unbekannte:

Situation	Alter Tina	Alter Nina
Anfang
Änderung (in 3 Jahren)

\rightarrow

Anfang: $x$ : Alter von Tina

Änderung: 3 Jahre vergehen

Situation

Alter Tina

Alter Nina

Anfang

x

x-8

Änderung

(in 3 Jahren)

x+3

x-8+3

Am Ende ist Tina doppelt so alt wie Nina:

$x+3=2 \cdot (x-8+3)$

Gleichung lösen:

$x+3=2 \cdot (x-5) \\x+3=2x-10 \qquad |+10-x \\\underline{x=13}$

Bestimme Alter von Nina durch die Nebenbedingung:

$x-8=13-8=5$ 

Tina ist also am Anfang $13$ Jahre alt und Nina ist $5$ .

Beispiel 3:

Ein Kino renoviert seinen Hauptsaal. Durch die Renovierung werden $50$ Plätze weggenommen, jedoch sollen die Einnahmen beim voll ausverkauften Saal gleichbleiben. Vor der Renovierung kostete ein Ticket $6$ Euro. Nach der Renovierung soll es $8$ Euro kosten. Wie viele Plätze hatte das Kino vor der Renovierung und wie viele danach? Wie hoch sind die Einnahmen des Kinos bei einem vollem Kinosaal?

Unbekannte:

Einnahmen vor und nach der Renovierung bei vollem Kinosaal
$x$ : Sitzplätze vor der Renovation

Gleichung aufstellen:

Einnahmen vorher		Einnahmen nachher
$6x$	$=$	$8 \cdot (x-50)$

Löse die Gleichung:

$6x=8x-400 \qquad |+400-6x \\400=2x \qquad |:2$ 

Die Lösung ist $\underline{x=200}$ .

Durch die Nebenbedingungen können nun die Plätze nach der Renovierung und die Einnahmen des Kinos bestimmt werden:

Nach Renovierung:

$x-50=200-50=\underline{150}$ 

Einnahmen:

$6x=6\cdot 200=\underline{1200}$ 

Das Kino hat nach der Renovierung $150$ Plätze im Saal und nimmt bei einem voll ausverkauftem Saal $1200 \ \text{€}$ ein.