Anwendungen von linearen Gleichungen

Bei diesen Aufgaben wird in einem oder mehreren Sätzen ein linearer Zusammenhang beschrieben, bei dem eine oder mehrere Größen unbekannt sind. Mithilfe von Gleichungen können die Werte der unbekannten Größen dann berechnet werden.

Allgemeines Vorgehen

Dieses Vorgehen kann man bei jeder Satzaufgabe anwenden, welche man mit Gleichungen löst:

Vorgehen

Beispiel 1:

Timon ist doppelt so alt wie Simon. Zusammen sind sie 30 Jahre alt. Wie alt ist Timon?

Gleichung aufstellen durch einsetzen der Terme in die Bedingung „zusammen 30 Jahre alt“

$$30=x+2x$$

​​

Auflösen nach x:

$$30=3x \qquad |:3 \\x=10$$

​​

Alter von Timon bestimmen durch Nebenbedingung  „doppelt so alt“:

$$\underline{2x=20}$$​​

Simon ist also $$10$$  Jahre alt und Timon ist $$20$$  Jahre alt.

Beispiel 2:

Tina ist 8 Jahre älter als Nina. In 3 Jahren ist Tina doppelt so alt wie Nina. Wie alt sind Nina und Tina heute?

Am Ende ist Tina doppelt so alt wie Nina:

$$x+3=2 \cdot (x-8+3)$$

​​

Gleichung lösen:

$$x+3=2 \cdot (x-5) \\x+3=2x-10 \qquad |+10-x \\\underline{x=13}$$

Bestimme Alter von Nina durch die Nebenbedingung:

$$x-8=13-8=5$$​​

​​

Tina ist also am Anfang $$13$$  Jahre alt und Nina ist $$5$$ .

Beispiel 3:

Ein Kino renoviert seinen Hauptsaal. Durch die Renovierung werden $$50$$ Plätze weggenommen, jedoch sollen die Einnahmen beim voll ausverkauften Saal gleichbleiben. Vor der Renovierung kostete ein Ticket $$6$$​  Euro. Nach der Renovierung soll es $$8$$​  Euro kosten. Wie viele Plätze hatte das Kino vor der Renovierung und wie viele danach? Wie hoch sind die Einnahmen des Kinos bei einem vollem Kinosaal?

Unbekannte:

• Einnahmen vor und nach der Renovierung bei vollem Kinosaal
  
• $$x$$​: Sitzplätze vor der Renovation
  

Gleichung aufstellen:

Löse die Gleichung:

$$6x=8x-400 \qquad |+400-6x \\400=2x \qquad |:2$$​​

Die Lösung ist  $$\underline{x=200}$$.

Durch die Nebenbedingungen können nun die Plätze nach der Renovierung und die Einnahmen des Kinos bestimmt werden:

Nach Renovierung:

$$x-50=200-50=\underline{150}$$​​

Einnahmen:

$$6x=6\cdot 200=\underline{1200}$$​​

Das Kino hat nach der Renovierung $$150$$  Plätze im Saal und nimmt bei einem voll ausverkauftem Saal $$1200 \ \text{€}$$  ein.