Bei diesen Aufgaben wird in einem oder mehreren Sätzen ein linearer Zusammenhang beschrieben, bei dem eine oder mehrere Größen unbekannt sind. Mithilfe von Gleichungen können die Werte der unbekannten Größen dann berechnet werden.
Allgemeines Vorgehen
Dieses Vorgehen kann man bei jeder Satzaufgabe anwenden, welche man mit Gleichungen löst:
Vorgehen
1.
Text sorgfältig durchlesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen.
Zum Beispiel: Unbekannte, Verhältnisse zwischen Unbekannten oder welche Terme man gleichsetzen muss.
2.
Erstelle eine Tabelle:
Kopfzeile: Unbekannte Größen
Zweite Zeile: Variablen und Zusammenhänge
Anmerkung:Bei Aufgaben, in denen sich die Größen über die Zeit verändern oder es mehrere Informationen gibt, kann die Tabelle auch mehr als 2 Zeilen haben.
3.
Variable: Setze eine Variable für eine unbekannte Größe ein.
Terme:Beschreibe die andere unbekannte Größe als Term mit dieser Variable.
4.
Gleichung: Erstelle mit dem Verhältnis zwischen den Termen aus dem Text und den Variablen eine Gleichung.
5.
Löse die Gleichung durch Äquivalenzumformungen.
6.
Bestimme den Wert der gesuchten Größe(n).
7.
Schreib einen Lösungssatz zur Beantwortung der Sachaufgabe.
Beispiel 1:
Timon ist doppelt so alt wie Simon. Zusammen sind sie 30 Jahre alt. Wie alt ist Timon?
Unbekannte:
Alter Simon
Alter Timon
→
x: Alter von Simon
Alter Simon
Alter Timon
x
2x
Gleichung aufstellen durch einsetzen der Terme in die Bedingung „zusammen 30 Jahre alt“
30=x+2x
Auflösen nach x:
30=3x∣:3x=10
Alter von Timon bestimmen durch Nebenbedingung„doppelt so alt“:
2x=20
Simon ist also10Jahre alt und Timon ist20Jahre alt.
Beispiel 2:
Tina ist 8 Jahre älter als Nina. In 3 Jahren ist Tina doppelt so alt wie Nina. Wie alt sind Nina und Tina heute?
Unbekannte:
Situation
Alter Tina
Alter Nina
Anfang
Änderung (in 3 Jahren)
→
Anfang: x: Alter von Tina
Änderung: 3 Jahre vergehen
Situation
Alter Tina
Alter Nina
Anfang
x
x−8
Änderung
(in 3 Jahren)
x+3
x−8+3
Am Ende ist Tina doppelt so alt wie Nina:
x+3=2⋅(x−8+3)
Gleichung lösen:
x+3=2⋅(x−5)x+3=2x−10∣+10−xx=13
Bestimme Alter von Nina durch die Nebenbedingung:
x−8=13−8=5
Tina ist also am Anfang 13Jahre alt und Nina ist 5.
Beispiel 3:
Ein Kino renoviert seinen Hauptsaal. Durch die Renovierung werden50Plätze weggenommen, jedoch sollen die Einnahmen beim voll ausverkauften Saal gleichbleiben. Vor der Renovierung kostete ein Ticket6Euro. Nach der Renovierung soll es8Euro kosten. Wie viele Plätze hatte das Kino vor der Renovierung und wie viele danach? Wie hoch sind die Einnahmen des Kinos bei einem vollem Kinosaal?
Unbekannte:
Einnahmen vor und nach der Renovierung bei vollem Kinosaal
x: Sitzplätze vor der Renovation
Gleichung aufstellen:
Einnahmen vorher
Einnahmen nachher
6x
=
8⋅(x−50)
Löse die Gleichung:
6x=8x−400∣+400−6x400=2x∣:2
Die Lösung ist x=200.
Durch die Nebenbedingungen können nun die Plätze nach der Renovierung und die Einnahmen des Kinos bestimmt werden:
Nach Renovierung:
x−50=200−50=150
Einnahmen:
6x=6⋅200=1200
Das Kino hat nach der Renovierung150Plätze im Saal und nimmt bei einem voll ausverkauftem Saal1200€ein.
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Anwendungen von linearen Gleichungen
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was sind lineare Aufgaben?
In dieser Art von Aufgabe ist die Gleichung, welche gelöst werden soll, nicht direkt gegeben. Du findest die Informationen dazu im Text, mit deren Hilfe Du eine Gleichung erstellen kannst. Du löst die Gleichung auf und hast damit dann auch die Aufgabe gelöst.
Kann ich nur Gleichungen mit einer Bedingung lösen?
Nein, Du kannst auch Gleichungen mit mehreren Bedingungen lösen. Dann müssen aber auch mehrere Informationen im Text gegeben sein.