Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

Definition

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion, auch „Bruchfunktion“ genannt, steht die Variable im Nenner oder hat einen negativen Exponenten. Dies hat automatisch zur Folge, dass der Nenner für bestimmte $$x$$​-Werte $$0$$ werden kann. Dies darf nicht passieren, deshalb gehören diese Werte nicht zur Definitionsmenge. Diese Ausnahmen nennt man auch „Definitionslücken“.

Einfache Bruchfunktion

​$$y=\frac{a}{x}=ax^{-1}$$​​

$$a$$​: Beliebige reelle Zahl

Beispiel:

$$y=\frac{10}{x}$$​​

Hier darf  $$x$$​ nicht den Wert $$0$$​ annehmen, da sonst durch $$0$$​ dividiert wird.

Darstellung

Die Bruchfunktion ist definiert für $$x≠0$$ (man kann nicht durch Null teilen!).

Bruchfunktion	Lineare Funktion (als Referenz)
Wertetabelle für : $$y=\frac{1}{x}$$ : ​$$x$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ $$4$$​​ ​$$y$$​​ ​$$1$$​​ ​$$\frac12=0,5$$​​ ​$$\frac13=0,33$$​​ ​$$\frac14=0,25$$​​	Wertetabelle für $$y=x$$: ​$$x$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$4$$​​ ​$$y$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$4$$​​
Im Koordinatensystem:

Asymptoten

Asymptoten sind Geraden, an die sich die Bruchgleichung annähert.

Beispiel:

$$y=\frac1x$$ hat die $$x$$​-Achse und die $$y$$​-Achse als Asymptoten.

Komplexere gebrochen-rationale Funktionen

Wenn die Funktion einen ganzen Term im Nenner hat, so verschiebt sich die gesamte Funktion und hat einen neue Definitionsmenge und auch neue Asymptoten.

Beispiel: 

$$y=\frac{4x+3}{x^3-1}$$​   

Die Funktion hat zwei Asymptoten: bei $$x=1$$ und bei $$y=0$$. Die Definitionsmenge ist $$\mathbb{D}=\mathbb{R} /{1}$$​, da für $$x=1$$, der Nenner $$1^3-1=0$$ ergeben würde, und Divisionen durch $$0$$ nicht erlaubt sind.

Der Schnittpunkt durch die $$y$$​-Achse lässt sich wie folgt berechnen (für $$x,0$$​ einsetzen):

​$$y=\frac{4\cdot0+3}{0^3-1}$$​​

Also:

​$$y=\frac{3}{-1}=\underline{-3}$$​​

Der Graph schneidet also die $$y$$​-Achse bei $$y=-3$$.

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