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Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

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Erklärvideo

Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

Definition

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion, auch „Bruchfunktion“ genannt, steht die Variable im Nenner oder hat einen negativen Exponenten. Dies hat automatisch zur Folge, dass der Nenner für bestimmte xxx​-Werte 000 werden kann. Dies darf nicht passieren, deshalb gehören diese Werte nicht zur Definitionsmenge. Diese Ausnahmen nennt man auch „Definitionslücken“.


Einfache Bruchfunktion


​y=ax=ax−1y=\frac{a}{x}=ax^{-1}y=xa​=ax−1​​


aaa​: Beliebige reelle Zahl


Beispiel:


y=10xy=\frac{10}{x}y=x10​​​


Hier darf  xxx​ nicht den Wert 000​ annehmen, da sonst durch 000​ dividiert wird.



Darstellung

Die Bruchfunktion ist definiert für x≠0x≠0x=0 (man kann nicht durch Null teilen!).


Bruchfunktion


Lineare Funktion (als Referenz)


Wertetabelle für : y=1xy=\frac{1}{x}y=x1​ :


​xxx​​

​111​​

​222​​

​333​​

444​​

​yyy​​

​111​​

​12=0,5\frac12=0,521​=0,5​​

​13=0,33\frac13=0,3331​=0,33​​

​14=0,25\frac14=0,2541​=0,25​​

Wertetabelle für y=xy=xy=x:


​xxx​​

​111​​

​222​​

​333​​

​444​​

​yyy​​

​111​​

​222​​

​333​​

​444​​

Im Koordinatensystem:

Mathematik; Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

Mathematik; Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel


Asymptoten

Asymptoten sind Geraden, an die sich die Bruchgleichung annähert.


Beispiel:

y=1xy=\frac1xy=x1​ hat die xxx​-Achse und die yyy​-Achse als Asymptoten.



Komplexere gebrochen-rationale Funktionen

Wenn die Funktion einen ganzen Term im Nenner hat, so verschiebt sich die gesamte Funktion und hat einen neue Definitionsmenge und auch neue Asymptoten.


Beispiel: 


y=4x+3x3−1y=\frac{4x+3}{x^3-1}y=x3−14x+3​​   

                  

Mathematik; Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel


Die Funktion hat zwei Asymptoten: bei x=1x=1x=1 und bei y=0y=0y=0. Die Definitionsmenge ist D=R/1\mathbb{D}=\mathbb{R} /{1}D=R/1​, da für x=1x=1x=1, der Nenner 13−1=01^3-1=013−1=0 ergeben würde, und Divisionen durch 000 nicht erlaubt sind.

Der Schnittpunkt durch die yyy​-Achse lässt sich wie folgt berechnen (für x,0x,0x,0​ einsetzen):


​y=4⋅0+303−1y=\frac{4\cdot0+3}{0^3-1}y=03−14⋅0+3​​​


Also:


​y=3−1=−3‾y=\frac{3}{-1}=\underline{-3}y=−13​=−3​​​


Der Graph schneidet also die yyy​-Achse bei y=−3y=-3y=−3.

.

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Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
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Lineare Gleichungen: Definition & Äquivalenzumformung

Teil 1

Lineare Gleichungen: Definition & Äquivalenzumformung

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Teil 2

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Zweiklammeransatz: Definition & Beispiel

Teil 3

Zweiklammeransatz: Definition & Beispiel

Binomische und trinomische Formeln

Teil 4

Binomische und trinomische Formeln

Bruchgleichungen mit Variable im Nenner

Teil 5

Bruchgleichungen mit Variable im Nenner

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Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

Teil 6

Gebrochen-rationale Funktion: Definition & Beispiel

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke?

An den Definitionslücken sind sogenannte Asymptoten. Asymptoten sind Geraden, an die sich die Bruchgleichung annähern.

Hat jede gebrochenrationale Funktion eine Definitionslücke?

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion, auch „Bruchfunktion“ genannt, steht die Variable im Nenner oder hat einen negativen Exponenten. Dies hat automatisch zur Folge, dass der Nenner für bestimmte x-Werte 0 werden kann. Dies darf nicht passieren, somit gehören diese Werte nicht zur Definitionsmenge. Dies Ausnahmen nennt man auch „Definitionslücken“. Es ist jedoch durchaus möglich, dass sie keine Definitionslücke hat zum Beispiel, wenn im Nenner x^2+4 steht.

Wie heißt eine Funktion mit Bruch?

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion, auch „Bruchfunktion“ genannt, steht die Variable im Nenner oder hat einen negativen Exponenten.

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