Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

Variablen

Definition

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl.

Man schreibt sie als beliebigen Buchstaben (meistens $x,y$ oder $z$ ).

Man nutzt sie oft dort, wo man den Wert einer Zahl noch nicht weiß bzw. festlegen möchte.

Beispiele

Anzahl rote Kugeln in einem Behälter  $x$  rote Kugeln
Ergebnis einer Rechnung  $...=x$ 
Geld, das man zur Verfügung hat $x$ Euro

Terme

Definition

Ein Term ist eine Rechnung, in welcher Zahlen und/oder Variablen zusammengerechnet werden sollen. Kommen Variablen im Term vor, so kann man das Ergebnis des Terms nur berechnen, wenn ausreichend weitere Informationen gegeben sind (z.B. durch Gleichungen). Es gibt aber auch Situationen, in denen man den Wert eines Terms nicht berechnen kann. Dann lässt sich der Term nur vereinfachen.

Beispiel

Im Folgenden einige Beispiele für Terme, die nur von einer Variablen abhängig sind:

$2x+1$

$12x$

$5x^2$

$1-x$

Nun ein paar Beispiele für Terme, die von mehreren Variablen abhängig sind:

$2x+2y$

$\frac{3y}{x}$

$2x^2+2y^2$

$x+y+z$

Tipp: Oft schreibt man das Mal-Zeichen zwischen den Zahlen und einer Variablen nicht aus. $12\cdot x$ wird also einfach gekürzt geschrieben als $12x$ .

Rechenregeln - Strichrechnung

Wenn die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind, darf man Variablen addieren $(+)$ und subtrahieren $(-)$ bzw. einen Term vereinfachen:

VORAUSSETZUNGEN

Gleiche Variable:

$2a+3a$ nicht $2a+3b$

$→2a+3a=5a$

Gleicher Exponent und gleiche Variable:

$2a^2+3a^2$ nicht $2a^2+3a^3$

$→2a^2+3a^2=5a^2$

Gleiches Variablenpaar:

$2ab+3ab$ nicht $2ab+3ac$

$→2ab+3ab=5ab$

BERECHNUNG

Verrechne die Zahlen vor den Variablen und schreibe die Variable dann dahinter.

Beispiele

$a+3a=(1+3)a=4a$

$6a-2a=(6-2)a=4a$

$ab+3a+6ab+4a=(1+6)ab+(3+4)a=7ab+7a$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Satzaufgaben - Terme erstellen

Oft muss man anhand von einem Text einen Term erstellen.

VORGEHEN

Setze eine Variable für eine unbekannte Grösse.
Erstelle mit der Variablen Terme für die anderen Unbekannten.
Tipps für die Rechenoperation:
- Strichrechnung bei Bezeichnungen, wie „fünf mehr" oder „sieben weniger", z.B.: $x+5$ oder $x-7$ .
- Punktrechnung bei Bezeichnungen, wie „drei mal mehr", „das vierfache" oder „halb so viele", z.B.: $3x$ , $4x$ oder $\frac12x$ .

Beispiel 1 - Behälter

Man hat drei Behälter ( $A,B$ und $C$ ), welche mit Kugeln gefüllt sind.

In Behälter $B$ befinden sich doppelt so viele Kugeln wie in Behälter $A$ .

In Behälter $C$ befindet sich eine Kugel mehr als in Behälter $B$ .

Als Term beschrieben: Den Inhalt von Behälter A setzen wir als Variable $x.$

Mathematik; Terme und Gleichungen; 6. Klasse Hauptschule; Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

Beispiel 2 - Figurenfolge

Eine Figur soll schrittweise mit drei Blöcken erweitert werden. Erstelle einen Term für die Anzahl Blöcke in der $x-$ ten Figur.

1. Figur: $1+3\cdot (1-1)$

2. Figur: $1+3\cdot (2-1)$

Mathematik; Terme und Gleichungen; 6. Klasse Hauptschule; Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

3. Figur: $1+3\cdot (3-1)$

Mathematik; Terme und Gleichungen; 6. Klasse Hauptschule; Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

4. Figur: $1+3\cdot (4-1)$

Mathematik; Terme und Gleichungen; 6. Klasse Hauptschule; Variablen in Termen: Vorgehen & Rechenregeln

Die erste Figur besteht aus einem Block. Jede weitere Figur besteht aus drei weiteren Blöcken.

Die $x$ -te Figur hat also $3\cdot (x-1)$ und einen Block. Als Term: $\underline{1+3\cdot (x-1)}$

$x$ -te Figur

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$1+3\cdot (x-1)$

Gleichwertigkeit von Termen prüfen

Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie beim Einsetzen jeder möglichen Zahl denselben Wert haben. Dies ist der Fall, wenn die Terme so vereinfacht werden können, dass beide Ausdrücke gleich sind.

Beispiele:

Sind die Terme $5x+2$ und $5(x+2)$ gleichwertig?

Der zweite Term kann vereinfacht werden: $5(x+2)=5x+10≠5x+2$

Diese beiden Terme sind also nicht gleichwertig.

Sind die Terme $3x-9$ und $3(x-3)$ gleichwertig?

Hier kann wieder der zweite Term vereinfacht werden: $3(x-3)=3x-9$

Diese beiden Terme sind also gleichwertig.

Sind die Terme $x(x+2)$ und $x^2+2x$

Der erste Term kann vereinfacht werden zu: $x(x+2)=x\cdot x+2x=x^2+2x$

Daher sind auch diese beiden Terme gleichwertig.