Bruchgleichungen mit Variable im Nenner

Wichtiges in Kürze

Steht bei einer Bruchgleichung die Variable auch im Nenner, so muss man zuerst den Definitionsbereich für die Gleichung bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung. Dies ist notwendig, damit im Nenner keine Null steht, da teilen durch Null nicht definiert ist.

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ($\mathbb{D}$​ ) gibt an, welche Werte man für $x$​  in die Gleichung einsetzen darf.

Bei einem Bruch darf im Nenner nie Null stehen!

$\mathbb{D}=\R \backslash \{ \text{ "Nicht erlaubte x-Werte"}\}$​​

Vorgehen

Beispiel

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$​

Nenner mit $x$​  gleich Null:

$3x-6=0$ und $x+3=0$

$\underline{x=2}$ und $\underline{x=-3}$​​​

Definitionsbereich:  $\mathbb{D}=\R \backslash \{-3, 2 \}$​

Bruchgleichungen lösen

Um die Gleichung zu lösen kannst Du versuchen die Nenner gleichnamig zu machen und mit dem gemeinsamen Nenner zu multiplizieren. Dadurch wirst Du die Variablen im Nenner los und kannst wie gewohnt vorgehen.

Vorgehen

Beispiel - Löse nach x auf:

$\frac{2}{6-2x}=\frac{x}{4x-12}$

​​

Zunächst bestimmen wir den Definitionsbereich der Bruchgleichung.

​$6-2x=0$ und $4x-12=0$​​

​$x=3$ für beide.

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Der Definitionsbereich ist daher:  $\mathbb{D}=\R \backslash \{3\}$​

​Nun folgt die Suche nach dem Hauptnenner:

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$\frac{2}{2(3-x)}=\frac{x}{4(x-3)}=\frac{x}{-4(3-x)}$​​

Der Term ist $(3-x)$​ ist also in beiden Brüchen im Nenner enthalten. Folglich ist der Hauptnenner $2 \cdot (-4) \cdot (3-x)$. Um beide Seiten der Gleichung auf den gleichen Nenner zu bringen, muss man nun die linke Seite mit $-4$ und die rechte Seite mit $2$ erweitern:

$\frac{2 \cdot (-4)}{2\cdot (-4) \cdot (3-x)}= \frac{2x}{2\cdot (-4) \cdot (3-x)}$

​​

Multiplizieren mit dem Hauptnenner ergibt:

$2 \cdot (-4) = 2x \rightarrow \underline{x=-4}$

​​

Dies liegt im Definitionsbereich, also ist die Lösung der Gleichung  $x=-4$

Beispiel - Löse nach $x$ auf:

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$

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Der Definitionsbereich wurde schon im Ersten Beispiel bestimmt: $\mathbb{D}=\R \backslash \{-3,2\}$​

Im Folgenden gibt es keinen Hauptnenner. Die Gleichung wird gelöst, indem man die gesamte Gleichung mit beiden Nennern der Brüche multipliziert:

$\frac{3x}{3x-6}= \frac{x+2}{x+3} \qquad | \cdot (3x-6) \cdot (x+3) \\\frac{3x(x+3)(3x-6)}{3x-6}= \frac{(x+2)(x+3)(3x-6)}{x+3} \qquad |\ \text{kürzen} \\3x(x+3)=(x+2)(3x-6)$​​

Klammern auflösen ergibt:

$3x^2+9= 3x^2-6x+6x-12 \qquad |-3x^2 \\9x = -12 \qquad |:9 \\x= - \underline{ \frac{4}{3}}$

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$x=-\frac{4}{3}$​ wird vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und ist somit die Lösung.