Steht bei einer Bruchgleichung die Variable auch im Nenner, so muss man zuerst den Definitionsbereich für die Gleichung bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung. Dies ist notwendig, damit im Nenner keine Null steht, da teilen durch Null nicht definiert ist.
Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich (D) gibt an, welche Werte man für xin die Gleichung einsetzen darf.
Bei einem Bruch darf im Nenner nie Null stehen!
D=R\{ "Nicht erlaubte x-Werte"}
Vorgehen
1.
Setze die Terme mit xim Nenner einzeln gleich Null.
2.
Löse die einzelnen Gleichungen nach xauf.
Alle Lösungen sind „nicht erlaubte x-Werte“.
3.
Notieren den Definitionsbereich: D=R\{...}
Alle „nicht erlaubte x-Werte“ schreibt man in die Klammer.
Beispiel
3x−63x=x+3x+2
Nenner mitxgleich Null:
3x−6=0 und x+3=0
x=2 und x=−3
Definitionsbereich: D=R\{−3,2}
Bruchgleichungen lösen
Um die Gleichung zu lösen kannst Du versuchen die Nenner gleichnamig zu machen und mit dem gemeinsamen Nenner zu multiplizieren. Dadurch wirst Du die Variablen im Nenner los und kannst wie gewohnt vorgehen.
Vorgehen
1.
Suche nach Hauptnennern. Um dies zu tun, faktorisiere die Nenner und bestimme so die Hauptnenner.
Tipp:Nutze Ausklammern, Binomische Formeln oder den Zweiklammeransatz.
2.
Mache die Brüche gleichnamig mithilfe der Hauptnenner. Alternativ kannst du auch die gesamte Gleichung mit allen Nennern die in der Gleichung vorkommen multiplizieren. Je nach Aufgabe kann das aber umständlicher sein.
3.
Multipliziere mit dem gleichen Nenner.
Tipp:Dadurch fallen alle Nenner weg.
4.
Löse die Gleichung wie gewohnt weiter durch Äquivalenzumformungen.
5.
Vergleiche die Lösung mit dem Definitionsbereich.
Achtung:Die Lösung muss ein erlaubterx-Wert sein. Ansonsten hat die Gleichung keine Lösung.
Beispiel -Löse nach x auf:
6−2x2=4x−12x
Zunächst bestimmen wir den Definitionsbereich der Bruchgleichung.
6−2x=0und 4x−12=0
x=3für beide.
Der Definitionsbereich ist daher: D=R\{3}
Nun folgt die Suche nach dem Hauptnenner:
2(3−x)2=4(x−3)x=−4(3−x)x
Der Term ist (3−x)ist also in beiden Brüchen im Nenner enthalten. Folglich ist der Hauptnenner 2⋅(−4)⋅(3−x). Um beide Seiten der Gleichung auf den gleichen Nenner zu bringen, muss man nun die linke Seite mit −4 und die rechte Seite mit 2 erweitern:
2⋅(−4)⋅(3−x)2⋅(−4)=2⋅(−4)⋅(3−x)2x
Multiplizieren mit dem Hauptnenner ergibt:
2⋅(−4)=2x→x=−4
Dies liegt im Definitionsbereich, also ist die Lösung der Gleichung x=−4
Beispiel - Löse nach x auf:
3x−63x=x+3x+2
Der Definitionsbereich wurde schon im Ersten Beispiel bestimmt: D=R\{−3,2}
Im Folgenden gibt es keinen Hauptnenner. Die Gleichung wird gelöst, indem man die gesamte Gleichung mit beiden Nennern der Brüche multipliziert:
Der Definitionsbereich wird mit einem D abgekürzt. Du schreibst: D = R\{"nicht erlaubte Werte"}.
Wie bestimme ich den Definitionsbereich?
Setze die Terme mit x im Nenner gleich 0 und löse die einzelnen Gleichungen nach x auf. Die Ergebnisse sind die Zahlen, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden müssen.
Was ist ein Definitionsbereich?
Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte für x in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Bei einem Bruch darf im Nenner nie Null stehen!