Definition Thalessatz & Thaleskreis konstruieren

Definition

Der Satz des Thales besagt, dass für zwei beliebige Punkte $$A$$ und $$B$$​, und einen dritten Punkt $$C$$
ABC , der auf dem Halbkreis gezeichnet mit Mittelpunkt $$M$$ (die Streckenhalbierte $$\overline{AB}$$ ) und Durchmesser $$|\overline{AB}|$$ liegt, das resultierende Dreieck $$ABC$$ immer einen rechten Winkel bei $$C$$ hat.

Das gilt für jeden beliebigen Punkt $$C$$​ der auf dem Kreisbogen liegt.

Thaleskreis konstruieren

Vorgehen

Winkelaufgaben

Bei diesen Aufgaben ist eine nicht maßstabsgetreue Skizze gegeben. Ein oder zwei Winkel sind gegeben. Die restlichen Winkel muss man berechnen.

Tipps zum Vorgehen

Mithilfe der folgenden Tipps und Eigenschaften kann man die gesuchten Winkel bestimmen:

• Winkelsumme: Von Dreiecken $$180\degree$$​, von Vierecken $$360\degree$$.
  
• Thaleskreis: Ein Eckwinkel auf dem Kreis ist $$90\degree$$​. 
  
• Gleichschenklige Dreiecke: Zwei Winkel sind gleich groß (entsprechende Dreiecke haben auf einen Kreismittelpunkt als Eckpunkt).
  
• Schneidende Linien: Wenn zwei Linien sich schneiden, entstehen total vier neue Winkel die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Anliegende Winkel sind zusammen $$180\degree$$​ (Siehe Winkelsumme im Punkt $$M_1$$​).
  

Beispiel: Berechne den fehlenden Winkel $$\beta$$.

Lösung: Da der Punkt C auf dem Thaleskreis über $$\overline{AB}$$​  liegt, ist der Winkel beim Punkt $$C$$​ ein rechter Winkel:

Da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $$180\degree$$​ ist, gilt

$$90\degree+60\degree+\beta=180\degree$$​​

Daraus folgt, dass $$\beta=30\degree$$​ ist.