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Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Nullstellen Ganzrationaler Funktionen

Nullstellen

Definition

Die Nullstelle einer Funktion  ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der xxx​-Achse. In diesem Punkt ist der yyy​-Wert gleich Null: f(x)=0f(x)=0f(x)=0​.


Berechnung der Nullstellen

1.

Setze die Funktion gleich Null: f(x)=0f(x)=0f(x)=0​.

2.

Löse die Funktion nach xxx​ auf.

Nutze, falls erlaubt, Deinen Taschenrechner.

​


Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Eine allgemeine ganzrationale Funktion nnn​-ten Grades:

f(x) = anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0,f(x)\ =\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,f(x) = an​xn+an−1​xn−1+⋯+a2​x2+a1​x+a0​,​​

hat maximal nnn​ Nullstellen.


Abhängig davon ob  gerade oder ungerade ist, gibt es folgende Möglichkeiten:

nnn​ gerade
  • Keine Nullstellen
  • nnn​ Nullstellen (manche können vielfach im selben Punkt sein)

nnn​ ungerade
  • 1 Nullstelle
  • nnn​ Nullstellen (manche können vielfach im selben Punkt sein)

​

FAKTORISIERTE FUNKTION

Liegt ein faktorisierter Term vor, kann man die Faktoren einzeln gleich Null setzen.


Beispiel

​(x−3)⋅(x−2)=0\left(x-3\right)\cdot(x-2)=0(x−3)⋅(x−2)=0​​

Löse:

x−3=0x-3=0x−3=0​ und x−2=0x-2=0x−2=0​

Die Nullstellen sind also:

x2=3‾\underline{x_2=3}x2​=3​​ und x2=2‾\underline{x_2=2}x2​=2​​

​

Berechnung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen

1.

Setze die Funktion gleich Null: f(x)=0f(x)=0f(x)=0​.

2.

Löse die Funktion nach xxx​ auf. Verwende hierfür eine Auswahl folgender Methoden:

  • Bei Funktionen 2-ten Grades kannst du hierfür die abc-, oder pq-Formel verwenden
  • Bei Funktionen höheren Grades faktorisiere einzelne Terme, indem du zuerst eine Nullstelle errätst und wiederhole das Prozedere so lange, bis der nicht faktorisierte Term ein Polynom 2-ten Grades ist. Verwende nun wieder die abc-, oder pq-Formel für die restlichen beiden Nullstellen.
Hinweis:

Ganzrationale Funktionen 0-ten Grades f(x)=a0f(x)=a_0f(x)=a0​​ mit a0≠0a_0\neq0a0​=0​ haben keine Nullstelle, während lineare Funktionen (ganzrationale Funktionen 1-ten Grades) f(x)=a1x+a0f(x)=a_1x+a_0f(x)=a1​x+a0​​ immer genau eine Nullstelle haben (wenn a1≠0a_1\neq0a1​=0​).


Beispiel:

Die Funktion f(x)=x−1f(x)=x-1f(x)=x−1​ hat genau eine Nullstelle in x=1x=1x=1​, was auch direkt aus dem Funktionsgraphen ersichtlich wird:

Mathematik; Funktionen und ihre Graphen; 10. Klasse Gymnasium; Nullstellen ganzrationaler Funktionen


Beispiel:

Finde die Nullstellen der Funktion f(x)=x3−7x2+15x−9.f(x)=x^3-7x^2+15x-9.f(x)=x3−7x2+15x−9.​


Durch Raten finden wir die erste Nullstelle bei x=1x=1x=1​, denn 0=13−7⋅12+15⋅1−90=1^3-7{\cdot}1^2+15\cdot 1-90=13−7⋅12+15⋅1−9​.

Wir vereinfachen die Funktion durch Faktorisieren der Nullstelle:

f(x)=(x−1)(x2−6x+9)f(x)=(x-1)(x^2-6x+9)f(x)=(x−1)(x2−6x+9)​​


Nun wenden wir die binomische Formel auf den rechten Term an und können somit auch ihn faktorisieren. Alternativ hätten wir auch die pq-Formel anwenden können, um die Nullstellen des rechten Terms (Polynom 2-ten Grades) zu finden.

Die ursprüngliche Funktion lässt sich also folgendermaßen schreiben:

f(x)=(x−1)(x−3)2f(x)=(x-1){(x-3)}^2f(x)=(x−1)(x−3)2​​


Die Nullstellen sind nun sofort ersichtlich als: x1=1‾\underline{x_1=1}x1​=1​​ und x2,3=3‾\underline{x_{2,3}=3}x2,3​=3​​.

Beachte: Die Nullstelle in x=3x=3x=3​ ist eine doppelte Nullstelle, da der zugehörige faktorisierte Term die Potenz 2 hat.

Die Nullstellen werden auch im Funktionsgraphen ersichtlich:

Mathematik; Funktionen und ihre Graphen; 10. Klasse Gymnasium; Nullstellen ganzrationaler Funktionen



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen?

1. Setze die Funktion gleich Null: f(x)=0. 2. Löse die Funktion nach x auf. Verwende hierfür eine Auswahl folgender Methoden: Bei Funktionen 2-ten Grades kannst du hierfür die abc-, oder pq-Formel verwenden. Bei höheren Grades faktorisiere einzelne Terme indem du zuerst eine Nullstelle errätst und wiederhole das Prozedere so lange, bis der nicht faktorisierte Term ein Polynom 2-ten Grades ist. Verwende nun wieder die abc-, oder pq-Formel für die restlichen beiden Nullstellen.

Wie finde ich Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen?

Eine allgemeine ganzrationale Funktion n-ten Grades: Hat maximal n Nullstellen. Abhängig davon ob n gerade oder ungerade ist, gibt es folgende Möglichkeiten: Ist n gerade kann sie entweder keine Nullstelle oder n Nullstellen haben. Ist n ungerade hat sie mindestens eine Nullstelle, oder n Nullstellen.

Was ist eine Nullstelle?

Die Nullstelle einer Funktion f ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse. In diesem Punkt ist der y-Wert gleich Null: f(x)=0.

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