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Ganzrationale Funktionen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Nullstellen Ganzrationaler Funktionen

Nullstellen

Definition

Die Nullstelle einer Funktion  ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der xx-Achse. In diesem Punkt ist der yy-Wert gleich Null: f(x)=0f(x)=0.


Berechnung der Nullstellen

1.

Setze die Funktion gleich Null: f(x)=0f(x)=0.

2.

Löse die Funktion nach xx auf.

Nutze, falls erlaubt, Deinen Taschenrechner.



Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Eine allgemeine ganzrationale Funktion nn-ten Grades:

f(x) = anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0,f(x)\ =\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,​​

hat maximal nn Nullstellen.


Abhängig davon ob  gerade oder ungerade ist, gibt es folgende Möglichkeiten:

nn​ gerade

  • Keine Nullstellen
  • nn​ Nullstellen (manche können vielfach im selben Punkt sein)

nn​ ungerade

  • 1 Nullstelle
  • nn​ Nullstellen (manche können vielfach im selben Punkt sein)


FAKTORISIERTE FUNKTION

Liegt ein faktorisierter Term vor, kann man die Faktoren einzeln gleich Null setzen.


Beispiel

(x3)(x2)=0\left(x-3\right)\cdot(x-2)=0​​

Löse:

x3=0x-3=0​ und x2=0x-2=0

Die Nullstellen sind also:

x2=3\underline{x_2=3}​ und x2=2\underline{x_2=2}


Berechnung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen

1.

Setze die Funktion gleich Null: f(x)=0f(x)=0.

2.

Löse die Funktion nach xx auf. Verwende hierfür eine Auswahl folgender Methoden:

  • Bei Funktionen 2-ten Grades kannst du hierfür die abc-, oder pq-Formel verwenden
  • Bei Funktionen höheren Grades faktorisiere einzelne Terme, indem du zuerst eine Nullstelle errätst und wiederhole das Prozedere so lange, bis der nicht faktorisierte Term ein Polynom 2-ten Grades ist. Verwende nun wieder die abc-, oder pq-Formel für die restlichen beiden Nullstellen.
Hinweis:

Ganzrationale Funktionen 0-ten Grades f(x)=a0f(x)=a_0 mit a00a_0\neq0 haben keine Nullstelle, während lineare Funktionen (ganzrationale Funktionen 1-ten Grades) f(x)=a1x+a0f(x)=a_1x+a_0 immer genau eine Nullstelle haben (wenn a10a_1\neq0).


Beispiel:

Die Funktion f(x)=x1f(x)=x-1 hat genau eine Nullstelle in x=1x=1, was auch direkt aus dem Funktionsgraphen ersichtlich wird:

Mathematik; Funktionen und ihre Graphen; 10. Klasse Gymnasium; Nullstellen ganzrationaler Funktionen


Beispiel:

Finde die Nullstellen der Funktion f(x)=x37x2+15x9.f(x)=x^3-7x^2+15x-9.


Durch Raten finden wir die erste Nullstelle bei x=1x=1, denn 0=13712+15190=1^3-7{\cdot}1^2+15\cdot 1-9.

Wir vereinfachen die Funktion durch Faktorisieren der Nullstelle:

f(x)=(x1)(x26x+9)f(x)=(x-1)(x^2-6x+9)​​


Nun wenden wir die binomische Formel auf den rechten Term an und können somit auch ihn faktorisieren. Alternativ hätten wir auch die pq-Formel anwenden können, um die Nullstellen des rechten Terms (Polynom 2-ten Grades) zu finden.

Die ursprüngliche Funktion lässt sich also folgendermaßen schreiben:

f(x)=(x1)(x3)2f(x)=(x-1){(x-3)}^2​​


Die Nullstellen sind nun sofort ersichtlich als: x1=1\underline{x_1=1} und x2,3=3\underline{x_{2,3}=3}.

Beachte: Die Nullstelle in x=3x=3 ist eine doppelte Nullstelle, da der zugehörige faktorisierte Term die Potenz 2 hat.

Die Nullstellen werden auch im Funktionsgraphen ersichtlich:

Mathematik; Funktionen und ihre Graphen; 10. Klasse Gymnasium; Nullstellen ganzrationaler Funktionen



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen?

Wie finde ich Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen?

Was ist eine Nullstelle?

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