Nullstellen Ganzrationaler Funktionen

Nullstellen

Definition

Die Nullstelle einer Funktion  ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der $x$​-Achse. In diesem Punkt ist der $y$​-Wert gleich Null: $f(x)=0$​.

Berechnung der Nullstellen

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Eine allgemeine ganzrationale Funktion $n$​-ten Grades:

$f(x)\ =\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,$​​

hat maximal $n$​ Nullstellen.

Abhängig davon ob  gerade oder ungerade ist, gibt es folgende Möglichkeiten:

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FAKTORISIERTE FUNKTION

Liegt ein faktorisierter Term vor, kann man die Faktoren einzeln gleich Null setzen.

Beispiel

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Berechnung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Hinweis:

Ganzrationale Funktionen 0-ten Grades $f(x)=a_0$​ mit $a_0\neq0$​ haben keine Nullstelle, während lineare Funktionen (ganzrationale Funktionen 1-ten Grades) $f(x)=a_1x+a_0$​ immer genau eine Nullstelle haben (wenn $a_1\neq0$​).

Beispiel:

Die Funktion $f(x)=x-1$​ hat genau eine Nullstelle in $x=1$​, was auch direkt aus dem Funktionsgraphen ersichtlich wird:

Beispiel:

Finde die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3-7x^2+15x-9.$​

Durch Raten finden wir die erste Nullstelle bei $x=1$​, denn $0=1^3-7{\cdot}1^2+15\cdot 1-9$​.

Wir vereinfachen die Funktion durch Faktorisieren der Nullstelle:

$f(x)=(x-1)(x^2-6x+9)$​​

Nun wenden wir die binomische Formel auf den rechten Term an und können somit auch ihn faktorisieren. Alternativ hätten wir auch die pq-Formel anwenden können, um die Nullstellen des rechten Terms (Polynom 2-ten Grades) zu finden.

Die ursprüngliche Funktion lässt sich also folgendermaßen schreiben:

$f(x)=(x-1){(x-3)}^2$​​

Die Nullstellen sind nun sofort ersichtlich als: $\underline{x_1=1}$​ und $\underline{x_{2,3}=3}$​.

Beachte: Die Nullstelle in $x=3$​ ist eine doppelte Nullstelle, da der zugehörige faktorisierte Term die Potenz 2 hat.

Die Nullstellen werden auch im Funktionsgraphen ersichtlich: