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Transformation Sinus und Kosinus

Transformation Sinus und Kosinus

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Transformation Sinus und Kosinus

Allgemeine Form

Aus dem Graphen von der Sinus-Funktion lassen sich durch Streckungen, Stauchungen und Verschiebungen des Graphen sowohl in xx- als auch in yy-Richtung, neue Funktionen erhalten. Diese werden mathematisch beschrieben durch die allgemeine Formel für eine Sinus-Funktion,

f(x)=asin(b(xc))+df\left(x\right)=a\cdot\sin{\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)}+d​​

Oder durch die allgemeine Formel für eine Kosinus-Funktion:

f(x)=acos(b(xc))+df\left(x\right)=a\cdot\cos{\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)}+d​​

Im Folgenden werden Streckungen, Stauchungen, Spiegelungen und Verschiebungen anhand der Sinus-Funktion erklärt. Für den Cosinus gilt es äquivalent.



Streckung in y\mathbf{y}-Richtung

Der Parameter aa sorgt für eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in yy-Richtung. Dabei treten verschiedene Situationen auf (a>0)a>0):

a>1a>1​​
Streckung der Funktion un y-Richtung
0<a<10<a<1​​
Stauchung der Funktion in y-Richtung
Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus


Die Zahl A=aA=|a| heißt Amplitude der Sinus-funktion.

AnmerkungDer Betrag einer Zahl entspricht der Zahl selbst, wenn diese positiv ist, oder dreht das Vorzeichen von - zu + um, falls die Zahl negativ ist.



Spiegelung an x\mathbf{x}-Achse

Zu einer Spiegelung des Graphen an der x-Achse kommt es, wenn a<0a<0 ist. Äquivalent zu vorher: Für a>1–a>1 wird der Graph gestreckt und für 0<a<10<-a<1 wird der Graph der Funktion gestaucht.



Verschiebung in y\mathbf{y}-Richtung

Der Parameter dd entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der yy-Achse. 


d>0d>0​​
Verschiebung der Funktion entlang der positiven y-Achse ("nach oben*)
d<0d<0​​
Verschiebung der Funktion entlang der negativen y-Achse ("nach unten")
Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus



Verschiebung in x\mathbf{x} -Richtung

Der Parameter cc, entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der xx-Achse. 

c>0c>0​​
Verschiebung der Funktion entlang der positiven x-Achse ("nach rechts")
c<0c<0​​
Verschiebung der Funktion entlang der negativen x-Achse ("nach links")
Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus



Streckung in x\mathbf{x}-Richtung

Bei Streckungen entlang der yy-Achse, Spiegelungen und Verschiebungen der Funktion in xx- oder yy-Richtung bleibt der Abstand zwischen zwei Minima oder zwischen zwei Nullstellen stets gleich. Bei Stauchungen und Streckungen entlang der xx-Achse ist dies nicht mehr der Fall.

Der Parameter bb beschreibt die Streckung entlang der xx-Richtung.

b>1b>1​​
Stauchung der Funktion in x-Richtung. Nullstellen und Minima werden näher aneinander gerückt.
0<b<10<b<1​​
Streckung der Funktion in x-Richtung. Nullstellen und Minima werden weiter voneinander entfernt. Die Streckung geschieht mit dem Faktor 1b\frac{1}{b}​. 
Die Funktion hat die Periode 2πb\frac{2\pi}{b}​​
Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus



Anmerkung: Der Parameter bb kann auch als Frequenz betrachtet werden, da Töne auch mit Sinusfunktionen beschrieben werden. Für große bb, also hohe Frequenzen, erhält man hohe Töne und für kleine bb, also niedrige Frequenzen, bekommt man niedrige Töne.


Beispiel:

Im Folgenden ist der Graph einer allgemeinen trigonometrischen (Sinus-) Funktion gegeben (grün). Man soll die Funktionsgleichung  bestimmen, indem man den Graphen mit dem der Funktion g(x)=sin(x)g(x)=sin(x) vergleicht.

Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus


Der minimale Wert, den der Graph erreicht, liegt bei 1-1 und der maximale Wert bei 22. Der Sinus schwankt also zwischen zwei Zahlen, die um 3 auseinanderliegen. Der Graph von g(x)g(x) schwankt nur zwischen zwei Zahlen, die um 2 auseinander liegen, daher ist f(x)f(x) verglichen mit g(x)g(x) um 1,5 gestreckt, also ist a=1,5a=1,5. 

Der mittlere Wert von f(x)f(x) liegt bei 0,5 -das heißt, dass f(x)f(x) gegenüber g(x)g(x) um 0,50,5 nach oben geschoben wurde. Daher ist d=0,5d=0,5. 

Die Minima von f(x)f(x) sind gegenüber denen von g(x)g(x) um 1 nach rechts verschoben, daher ist c=1c=1. 

Die Minima haben immer denselben Abstand zueinander, also ist b=1.b=1.  Die Funktionsgleichung ist also: f(x)=1,5sin(x1)+0,5f\left(x\right)=1,5\cdot\sin{\left(x-1\right)}+0,5


Beispiel

Im Folgenden soll man den Graphen der Funktion f(x)=3sin(2x)+1f\left(x\right)=3\cdot\sin{\left(2x\right)}+1 zeichnen.

Dafür geht man am besten von dem Graph von g(x)=sin(x)g(x)=sin(x) aus und zeichnet dann die Lage der Extrema der neuen Funktion ein. Da d=1d=1 ist, ist der gesamte Graph um 11 nach oben verschoben. Außerdem ist der Graph um 3 gestreckt, weil a=3 ist. Daher sind alle Maxima um 3 höher als bei g(x) und alle Minima um 1 niedriger als bei g(x). 

Durch b=2 kommt es außerdem zur Stauchung des Graphen. Daher sind die Minima nur noch halb so weit voneinander entfernt wie bei g(x), also ist das erste Maxima bei x=π4x=\frac{\pi}{4} das zweite bei x=π2x=\frac{\pi}{2}, das dritte bei x=3π4x=\frac{3\pi}{4}, … 

Damit ergibt sich folgender Graph:

Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus



Sinus zu Cosinus

Man kann mithilfe von Verschiebungen des Graphen entlang der x-Achse auch aus einer Sinusfunktion eine Kosinusfunktion erhalten oder aus einer Kosinusfunktion eine Sinusfunktion. Dabei gilt folgendes:

sin(α)=cos(α90°)cos(α)=sin(α+90°)\sin{\left(\alpha\right)}=\cos(\alpha-90°)\\\cos{\left(\alpha\right)}=\sin(\alpha+90°)​​


Hinweis

90°90°​ in Gradmaß entsprechen π2\frac{\pi}{2} in Bogenmaß.


Mathematik; Trigonometrische Funktionen; 10. Klasse Gymnasium; Transformation Sinus und Kosinus




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Frequently asked questions about credits

Wie rechnet man zwischen Sinus und Kosinus um?

Was ist die Amplitude einer allgemeinen Trigonometrischen Funktion?

Wie lautet die Gleichung für eine allgemeine trigonometrische Funktion?

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