Transformation Sinus und Kosinus

Allgemeine Form

Aus dem Graphen von der Sinus-Funktion lassen sich durch Streckungen, Stauchungen und Verschiebungen des Graphen sowohl in $$x$$​- als auch in $$y$$​-Richtung, neue Funktionen erhalten. Diese werden mathematisch beschrieben durch die allgemeine Formel für eine Sinus-Funktion,

$$f\left(x\right)=a\cdot\sin{\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)}+d$$​​

Oder durch die allgemeine Formel für eine Kosinus-Funktion:

$$f\left(x\right)=a\cdot\cos{\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)}+d$$​​

Im Folgenden werden Streckungen, Stauchungen, Spiegelungen und Verschiebungen anhand der Sinus-Funktion erklärt. Für den Cosinus gilt es äquivalent.

Streckung in $$\mathbf{y}$$​-Richtung

Der Parameter $$a$$​ sorgt für eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in $$y-$$​Richtung. Dabei treten verschiedene Situationen auf ($$a>0)$$​:

Die Zahl $$A=|a|$$​ heißt Amplitude der Sinus-funktion.

Anmerkung: Der Betrag einer Zahl entspricht der Zahl selbst, wenn diese positiv ist, oder dreht das Vorzeichen von - zu + um, falls die Zahl negativ ist.

Spiegelung an $$\mathbf{x}$$​-Achse

Zu einer Spiegelung des Graphen an der x-Achse kommt es, wenn $$a<0$$​ ist. Äquivalent zu vorher: Für $$–a>1$$​ wird der Graph gestreckt und für $$0<-a<1$$​ wird der Graph der Funktion gestaucht.

Verschiebung in $$\mathbf{y}$$​-Richtung

Der Parameter $$d$$​ entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der $$y$$​-Achse. 

Verschiebung in $$\mathbf{x}$$​-Richtung

Der Parameter $$c$$​, entscheidet über die Verschiebung des Graphen entlang der $$x$$​-Achse. 

Streckung in $$\mathbf{x}$$​-Richtung

Bei Streckungen entlang der $$y$$​-Achse, Spiegelungen und Verschiebungen der Funktion in $$x$$​- oder $$y$$​-Richtung bleibt der Abstand zwischen zwei Minima oder zwischen zwei Nullstellen stets gleich. Bei Stauchungen und Streckungen entlang der $$x$$​-Achse ist dies nicht mehr der Fall.

Der Parameter $$b$$​ beschreibt die Streckung entlang der $$x$$​-Richtung.

Anmerkung: Der Parameter $$b$$​ kann auch als Frequenz betrachtet werden, da Töne auch mit Sinusfunktionen beschrieben werden. Für große $$b$$​, also hohe Frequenzen, erhält man hohe Töne und für kleine $$b$$​, also niedrige Frequenzen, bekommt man niedrige Töne.

Beispiel:

Im Folgenden ist der Graph einer allgemeinen trigonometrischen (Sinus-) Funktion gegeben (grün). Man soll die Funktionsgleichung  bestimmen, indem man den Graphen mit dem der Funktion $$g(x)=sin(x)$$​ vergleicht.

Der minimale Wert, den der Graph erreicht, liegt bei $$-1$$​ und der maximale Wert bei $$2$$​. Der Sinus schwankt also zwischen zwei Zahlen, die um 3 auseinanderliegen. Der Graph von $$g(x)$$​ schwankt nur zwischen zwei Zahlen, die um 2 auseinander liegen, daher ist $$f(x)$$​ verglichen mit $$g(x)$$​ um 1,5 gestreckt, also ist $$a=1,5$$​. 

Der mittlere Wert von $$f(x)$$​ liegt bei 0,5 -das heißt, dass $$f(x)$$​ gegenüber $$g(x)$$​ um $$0,5$$​ nach oben geschoben wurde. Daher ist $$d=0,5$$​. 

Die Minima von $$f(x)$$​ sind gegenüber denen von $$g(x)$$​ um 1 nach rechts verschoben, daher ist $$c=1$$​. 

Die Minima haben immer denselben Abstand zueinander, also ist $$b=1.$$​  Die Funktionsgleichung ist also: $$f\left(x\right)=1,5\cdot\sin{\left(x-1\right)}+0,5$$​

Beispiel

Im Folgenden soll man den Graphen der Funktion $$f\left(x\right)=3\cdot\sin{\left(2x\right)}+1$$​ zeichnen.

Dafür geht man am besten von dem Graph von $$g(x)=sin(x)$$​ aus und zeichnet dann die Lage der Extrema der neuen Funktion ein. Da $$d=1$$​ ist, ist der gesamte Graph um $$1$$​ nach oben verschoben. Außerdem ist der Graph um 3 gestreckt, weil a=3 ist. Daher sind alle Maxima um 3 höher als bei g(x) und alle Minima um 1 niedriger als bei g(x). 

Durch b=2 kommt es außerdem zur Stauchung des Graphen. Daher sind die Minima nur noch halb so weit voneinander entfernt wie bei g(x), also ist das erste Maxima bei $$x=\frac{\pi}{4}$$​ das zweite bei $$x=\frac{\pi}{2}$$​, das dritte bei $$x=\frac{3\pi}{4}$$​, … 

Damit ergibt sich folgender Graph:

Sinus zu Cosinus

Man kann mithilfe von Verschiebungen des Graphen entlang der x-Achse auch aus einer Sinusfunktion eine Kosinusfunktion erhalten oder aus einer Kosinusfunktion eine Sinusfunktion. Dabei gilt folgendes:

​$$\sin{\left(\alpha\right)}=\cos(\alpha-90°)\\\cos{\left(\alpha\right)}=\sin(\alpha+90°)$$​​

Hinweis

$$90°$$​ in Gradmaß entsprechen $$\frac{\pi}{2}$$​ in Bogenmaß.