Ganzrationale Funktionen: Definition & Darstellung

Definition

Eine ganzrationale Funktion $$f$$​ (auch „Polynom“ genannt) besteht aus einer beliebigen Summe einzelner Potenzfunktionen $$f(x)=x^i$$​​, für $$i$$ ​eine natürliche Zahl. Allgemein lässt sich schreiben:

​$$f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_2 x^2+a_1 x+a_0$$​​

wobei die $$a_i$$ auch „Koeffizienten“ genannt werden.

Die höchste vorkommende Potenz (Koeffizient ungleich $$0$$​) beschreibt den „Grad“ der Funktion. Die obige Funktion hat somit Grad $$n$$​, wenn $$a_n≠0$$​.

Ist die höchste Potenz $$n$$ der Funktion gerade, so spricht man auch von einer „geraden“ ganzrationalen Funktion. Ist $$n$$​ ungerade, so spricht man von einer „ungeraden“ ganzrationalen Funktion.

Hinweis:

Bei ganzrationalen Funktionen $$0$$​-ten Grades $$f(x)=a_0$$​ handelt es sich einfach um konstante Funktionen, und bei ganzrationalen Funktionen $$1$$​-ten Grades $$f(x)=a_1 x+a_0$$​ handelt es sich um altbekannte lineare Funktionen.

Verhalten bei großen Werten

Für betragsmäßig große $$x$$​-Werte verhalten sich ganzrationale Funktionen leicht vorhersehbar. Der jeweils größte Exponent bestimmt hierbei das Verhalten der Funktion bei sehr großen oder sehr kleinen $$x$$-Werten.^

Beispiel:

Untersuche das Verhalten der Funktion $$f(x) = -3x^5 +2x^2+1$$ für betragsmäßig große $$x$$​-Werte:

Der dominierende Term $$-3x^5$$​ ist ausschlaggebend für das Verhalten der Funktion, da die fünfte Potenz für große $$x$$​ alles andere dominiert. Die Funktion strebt also gegen $$+∞$$​ für $$x→-∞$$​, und gegen $$-∞$$​ für $$x→+∞$$​. Dies wird auch im Graphen sichtbar: