Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Die abc-Formel nennt man auch die "Mitternachtsformel". Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form berechnen.

Lösung der allgemeinen Form

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form $$ax^2+bx+c=0$$​ :

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$​​

für $$a, b, c \in \R$$

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Diskriminante

Die Diskriminante $$D=b^2-4ac$$​  ist der Term unter der Wurzel der abc-Formel.

Eigenschaften

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

• $$D>0$$: Zwei Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$.
• $$D=0$$: Eine Lösung $$x=x_1=x_2$$.
• $$D<0$$: Keine Lösung
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Gleichung lösen mit der abc-Formel

Vorgehen

Beispiel:

$$2x^2-5x+3=0$$

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abc-Formel: $$a=2, \ b=-5, \ c=3$$​

Die erste Lösung:

$$\begin{aligned}x_1&= \frac{+5+\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 3}}{2\cdot 2} \\x_1&= \frac{+5+\sqrt{25-24}}{4}\\x_1&=\frac{+5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\end{aligned}$$

Die zweite Lösung:

$$\begin{aligned}x_2&=\frac{+5-\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 3}}{2\cdot 2} \\x_2&= \frac{+5-\sqrt{25-24}}{4} \\x_2&=\frac{+5-1}{4}=\frac{4}{4}=1\end{aligned}$$​​

Die beiden  Lösungen lauten also: $$\underline{x_1=\frac{3}{2}}$$ und $$\underline{x_2=1}$$