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Mathematik

Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

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Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Mitternachtsformel (abc-Formel) anwenden

Die abc-Formel nennt man auch die "Mitternachtsformel". Mit ihr kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form berechnen.



Lösung der allgemeinen Form

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 :


x1,2=b±b24ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}​​

für a,b,cRa, b, c \in \R


Diskriminante

Die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac  ist der Term unter der Wurzel der abc-Formel.



Eigenschaften

Die Diskriminante gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • D>0D>0: Zwei Lösungen x1x_1 und x2x_2.
  • D=0D=0: Eine Lösung x=x1=x2x=x_1=x_2.
  • D<0D<0: Keine Lösung

Gleichung lösen mit der abc-Formel

Vorgehen

1.

Bilde eine Nullgleichung

2.

Sortiere den Term links und schreibe die Gleichung in folgender Form: ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

3.

Wende die abc-Formel an und berechne die Lösungen

x1=b+b24ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} und x2=bb24ac2ax_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}​​


Tipp: Beachte die Vorzeichen von a, b und c.



Beispiel:

2x25x+3=02x^2-5x+3=0


abc-Formel: a=2, b=5, c=3a=2, \ b=-5, \ c=3


Die erste Lösung:

x1=+5+(5)242322x1=+5+25244x1=+5+14=64=32\begin{aligned}x_1&= \frac{+5+\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 3}}{2\cdot 2} \\x_1&= \frac{+5+\sqrt{25-24}}{4}\\x_1&=\frac{+5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\end{aligned}




Die zweite Lösung:

x2=+5(5)242322x2=+525244x2=+514=44=1\begin{aligned}x_2&=\frac{+5-\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 3}}{2\cdot 2} \\x_2&= \frac{+5-\sqrt{25-24}}{4} \\x_2&=\frac{+5-1}{4}=\frac{4}{4}=1\end{aligned}​​



Die beiden  Lösungen lauten also: x1=32\underline{x_1=\frac{3}{2}} und x2=1\underline{x_2=1}




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Auf was muss ich bei Anwendung der Mitternachtsformel achten?

Was muss ich mit einer quadratischen Gleichung machen, damit ich die Mitternachtsformel anwenden kann?

Was ist die abc-Formel?

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