Équation de droite et alignement de points

Droites en 2 dimensions

Une droite peut être représentée de plusieurs façons :

Forme cartésienne	$\ ux+vy+w=0$	où $\left(\begin{matrix}-v\\u\\\end{matrix}\right)$ est un vecteur directeur (parallèle) et $\left(\begin{matrix}u\\v\\\end{matrix}\right)$ est un vecteur normal (perpendiculaire) à la droite.
Forme réduite	$y=ax+b$	où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Trouver l’équation d’une droite

À partir de deux points

Deux points quelconques $A=(a_x,a_y)$ et $B=(b_x,b_y)$ sur la droite sont donnés.

MÉTHODE

1.

Calcule le coefficient directeur $a$ :

$a=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}$

2.

Trouve l’ordonnée à l’origine $b$ en remplaçant les coordonnées d’un point dans la forme réduite de la droite :

$a_y=a\times a_x+b$ ou $b_y=a\times b_x+b$

Exemple

Trouver l’équation de la droite passant par les points $A(2;4)$ et $\ B(3;2)$ .

Coefficient directeur :

$a=\frac{2-4}{3-2}=-2$ 

Ordonnée à l’origine :

$4=-2\times2+b\\b=8$ 

L’équation de la droite est :

$\underline{ y=-2x+8}$ 

À partir d’un vecteur normal et d’un point

Un point $A=(a_x,a_y)$ et un vecteur normal $\overrightarrow n$ sont donnés.

MÉTHODE

1.

Insère les coordonnées du point $A$ dans la forme cartésienne de la droite :

$u\times a_x+v\times a_y+w=0$

2.

Remplace les coefficients $u$ et $v$ de l’équation cartésienne avec celles données par le vecteur normal $\overrightarrow n =\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ , puis isole $w$ .

Exemple

Un point $A(4;-1)$ et un vecteur normal $\overrightarrow n =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ sont donnés. Trouve l’équation cartésienne de la droite.

Le point $A$ satisfait l’équation cartésienne de la droite :

$g:\ \ \ ux+vy+w=0\\\ 4u-v+w=0$ 

Tu sais que $\overrightarrow n =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal, tu peux donc déduire :

$u=1,\ v=2$ 

Remplace-les dans l’équation cartésienne et déduis la valeur de $w$ :

$\ 4-2=-w\\w=-2$ 

L’expression de la droite est :

$\underline {x+2y-2=0}$ 

À partir du coefficient directeur et d’un point

Un point $A=(a_x,a_y)$ de la droite et le coefficient directeur $a$ sont donnés.

MÉTHODE

1.

Insère les coordonnées du point $A$ dans la forme réduite de la droite :

$a_y=a\times a_x+b$

2.

Isole l’ordonnée à l’origine $b$ .

Exemple

Trouve la forme réduite d’une droite passant par le point $A(-2;5)$ et ayant $a=2$ comme coefficient directeur.

Le point $A$ satisfait l’équation réduite de la droite :

$y=ax+b\\\ 5=2\times-2+b$ 

Tu peux donc déduire :

$b=9$ 

La solution est ainsi :

$\underline{y=2x+9}$ 

Déterminer si trois points sont alignés

Trois points $A=(a_x,a_y)\ ,\ B=(b_x,b_y)\ \$ et $C=(c_x,c_y)$ sont donnés.

MÉTHODE

1.

Trouve les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}c_x-a_x\\c_y-a_y\end{pmatrix}$

2.

Vérifie si tes deux vecteurs sont colinéaires ou non. Existe-t-il un $k$ , tel que : $k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ ?

Si oui, les trois points sont alignés. Si non, ils ne sont pas alignés.

Exemple

Les points $A=\left(1,2\right),\ B=\left(2,4\right)$ et $C=(-4,-8)$ sont donnés.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4-1\\-8-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-10\end{pmatrix}$ 

Les vecteurs sont colinéaires, car

$\begin{cases}-5×1=-5\\-5×2=-10\end{cases}$ 

Et donc

$5\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ 

Les trois points sont donc alignés.