Équation de droite et alignement de points Droites en 2 dimensions Une droite peut être représentée de plusieurs façons :
Forme cartésienne
u x + v y + w = 0 \ ux+vy+w=0 ux + v y + w = 0
où ( − v u ) \left(\begin{matrix}-v\\u\\\end{matrix}\right) ( − v u ) est un vecteur directeur (parallèle) et ( u v ) \left(\begin{matrix}u\\v\\\end{matrix}\right) ( u v ) est un vecteur normal (perpendiculaire) à la droite.
Forme réduite où a a a est le coefficient directeur et b b b l’ordonnée à l’origine.
Trouver l’équation d’une droite À partir de deux points Deux points quelconques A = ( a x , a y ) A=(a_x,a_y) A = ( a x , a y ) et B = ( b x , b y ) B=(b_x,b_y) B = ( b x , b y ) sur la droite sont donnés.
MÉTHODE 1.
Calcule le coefficient directeur a a a :
a = b y − a y b x − a x a=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x} a = b x − a x b y − a y
2.
Trouve l’ordonnée à l’origine b b b en remplaçant les coordonnées d’un point dans la forme réduite de la droite :
a y = a × a x + b a_y=a\times a_x+b a y = a × a x + b ou b y = a × b x + b b_y=a\times b_x+b b y = a × b x + b
Exemple Trouver l’équation de la droite passant par les points A ( 2 ; 4 ) A(2;4) A ( 2 ; 4 ) et B ( 3 ; 2 ) \ B(3;2) B ( 3 ; 2 ) .
Coefficient directeur :
a = 2 − 4 3 − 2 = − 2 a=\frac{2-4}{3-2}=-2 a = 3 − 2 2 − 4 = − 2
Ordonnée à l’origine :
4 = − 2 × 2 + b b = 8 4=-2\times2+b\\b=8 4 = − 2 × 2 + b b = 8
L’équation de la droite est :
y = − 2 x + 8 ‾ \underline{ y=-2x+8} y = − 2 x + 8
À partir d’un vecteur normal et d’un point Un point A = ( a x , a y ) A=(a_x,a_y) A = ( a x , a y ) et un vecteur normal n → \overrightarrow n n sont donnés.
MÉTHODE 1.
Insère les coordonnées du point A A A dans la forme cartésienne de la droite :
u × a x + v × a y + w = 0 u\times a_x+v\times a_y+w=0 u × a x + v × a y + w = 0
2.
Remplace les coefficients u u u et v v v de l’équation cartésienne avec celles données par le vecteur normal n → = ( u v ) \overrightarrow n =\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} n = ( u v ) , puis isole w w w .
Exemple Un point A ( 4 ; − 1 ) A(4;-1) A ( 4 ; − 1 ) et un vecteur normal n → = ( 1 2 ) \overrightarrow n =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} n = ( 1 2 ) sont donnés. Trouve l’équation cartésienne de la droite.
Le point A A A satisfait l’équation cartésienne de la droite :
g : u x + v y + w = 0 4 u − v + w = 0 g:\ \ \ ux+vy+w=0\\\ 4u-v+w=0 g : ux + v y + w = 0 4 u − v + w = 0
Tu sais que n → = ( 1 2 ) \overrightarrow n =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} n = ( 1 2 ) est un vecteur normal, tu peux donc déduire :
u = 1 , v = 2 u=1,\ v=2 u = 1 , v = 2
Remplace-les dans l’équation cartésienne et déduis la valeur de w w w :
4 − 2 = − w w = − 2 \ 4-2=-w\\w=-2 4 − 2 = − w w = − 2
L’expression de la droite est :
x + 2 y − 2 = 0 ‾ \underline {x+2y-2=0} x + 2 y − 2 = 0
À partir du coefficient directeur et d’un point U n point A = ( a x , a y ) A=(a_x,a_y) A = ( a x , a y ) de la droite et le coefficient directeur a a a sont donnés.
MÉTHODE 1.
Insère les coordonnées du point A A A dans la forme réduite de la droite :
a y = a × a x + b a_y=a\times a_x+b a y = a × a x + b
2.
Isole l’ordonnée à l’origine b b b .
Exemple Trouve la forme réduite d’une droite passant par le point A ( − 2 ; 5 ) A(-2;5) A ( − 2 ; 5 ) et ayant a = 2 a=2 a = 2 comme coefficient directeur.
Le point A A A satisfait l’équation réduite de la droite :
y = a x + b 5 = 2 × − 2 + b y=ax+b\\\ 5=2\times-2+b y = a x + b 5 = 2 × − 2 + b
Tu peux donc déduire :
b = 9 b=9 b = 9
La solution est ainsi :
y = 2 x + 9 ‾ \underline{y=2x+9} y = 2 x + 9
Déterminer si trois points sont alignés Trois points A = ( a x , a y ) , B = ( b x , b y ) A=(a_x,a_y)\ ,\ B=(b_x,b_y)\ \ A = ( a x , a y ) , B = ( b x , b y ) et C = ( c x , c y ) C=(c_x,c_y) C = ( c x , c y ) sont donnés.
MÉTHODE 1.
Trouve les coordonnées des vecteurs A B → \overrightarrow{AB} A B et A C → \overrightarrow{AC} A C .
A B → = ( b x − a x b y − a y ) A C → = ( c x − a x c y − a y ) \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}c_x-a_x\\c_y-a_y\end{pmatrix} A B = ( b x − a x b y − a y ) A C = ( c x − a x c y − a y )
2.
Vérifie si tes deux vecteurs sont colinéaires ou non. Existe-t-il un k k k , tel que : k A B → = A C → k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC} k A B = A C ?
Si oui, les trois points sont alignés. Si non, ils ne sont pas alignés.
Exemple Les points A = ( 1 , 2 ) , B = ( 2 , 4 ) A=\left(1,2\right),\ B=\left(2,4\right) A = ( 1 , 2 ) , B = ( 2 , 4 ) et C = ( − 4 , − 8 ) C=(-4,-8) C = ( − 4 , − 8 ) sont donnés.
A B → = ( 2 − 1 4 − 2 ) = ( 1 2 ) A C → = ( − 4 − 1 − 8 − 2 ) = ( − 5 − 10 ) \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4-1\\-8-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-10\end{pmatrix} A B = ( 2 − 1 4 − 2 ) = ( 1 2 ) A C = ( − 4 − 1 − 8 − 2 ) = ( − 5 − 10 )
Les vecteurs sont colinéaires, car
{ − 5 × 1 = − 5 − 5 × 2 = − 10 \begin{cases}-5×1=-5\\-5×2=-10\end{cases} { − 5 × 1 = − 5 − 5 × 2 = − 10
Et donc
5 A B → = A C → 5\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC} 5 A B = A C
Les trois points sont donc alignés .