Une droite peut être représentée de plusieurs façons:
Forme cartésienne
ux+vy+w=0
où(−vu)est un vecteur directeur (parallèle) et(uv)est un vecteur normal (perpendiculaire) à la droite.
Forme réduite
y=ax+b
oùaest le coefficient directeur etbl’ordonnée à l’origine.
Trouver l’équation d’une droite
À partir de deux points
Deux points quelconquesA=(ax,ay)etB=(bx,by)sur la droite sont donnés.
MÉTHODE
1.
Calcule le coefficient directeur a:
a=bx−axby−ay
2.
Trouve l’ordonnée à l’origineben remplaçant les coordonnées d’un point dans la forme réduite de la droite:
ay=a×ax+b ouby=a×bx+b
Exemple
Trouver l’équation de la droite passant par les pointsA(2;4)etB(3;2).
Coefficient directeur:
a=3−22−4=−2
Ordonnée à l’origine :
4=−2×2+bb=8
L’équation de la droite est:
y=−2x+8
À partir d’un vecteur normal et d’un point
Un pointA=(ax,ay)et un vecteur normalnsont donnés.
MÉTHODE
1.
Insère les coordonnées du pointAdans la forme cartésienne de la droite:
u×ax+v×ay+w=0
2.
Remplace les coefficientsuetvde l’équation cartésienne avec celles données par le vecteur normaln=(uv), puis isolew.
Exemple
Un pointA(4;−1)et un vecteur normaln=(12)sont donnés. Trouve l’équation cartésienne de la droite.
Le point Asatisfait l’équationcartésienne de la droite:
g:ux+vy+w=04u−v+w=0
Tu sais quen=(12)est un vecteur normal, tu peux donc déduire:
u=1,v=2
Remplace-les dans l’équation cartésienneet déduis la valeur de w:
4−2=−ww=−2
L’expression de la droite est:
x+2y−2=0
À partir du coefficient directeur et d’un point
Un pointA=(ax,ay)de la droite et le coefficient directeurasont donnés.
MÉTHODE
1.
Insère les coordonnées du pointAdans la forme réduite de la droite:
ay=a×ax+b
2.
Isole l’ordonnée à l’origineb.
Exemple
Trouve la forme réduite d’une droite passant par le pointA(−2;5)et ayanta=2commecoefficient directeur.
Le point Asatisfait l’équation réduite de la droite:
y=ax+b5=2×−2+b
Tupeux donc déduire:
b=9
La solution est ainsi:
y=2x+9
Déterminer si trois points sont alignés
Trois points A=(ax,ay),B=(bx,by)etC=(cx,cy)sont donnés.
MÉTHODE
1.
Trouve les coordonnées des vecteursABetAC.
AB=(bx−axby−ay)AC=(cx−axcy−ay)
2.
Vérifie si tes deux vecteurs sont colinéaires ou non. Existe-t-il unk, tel que:kAB=AC?
Si oui, les trois points sont alignés. Si non, ils ne sont pas alignés.
Exemple
Les points A=(1,2),B=(2,4)etC=(−4,−8)sont donnés.
AB=(2−14−2)=(12)AC=(−4−1−8−2)=(−5−10)
Les vecteurs sont colinéaires, car
{−5×1=−5−5×2=−10
Et donc
5AB=AC
Les trois points sont doncalignés.
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Durée:
Unité 1
Équation de droite et alignement de points
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Questions fréquemment posées sur les crédits
A quoi sert un paramètre ?
Le paramètre K permet de donner la position d'un point suivant un vecteur directeur u.
Quelle est la forme paramétrique d'une droite ?
x=ku_x+a_x
y=ku_y+a_y
avec u comme vecteur directeur et A un point de la droite et k un nombre réel.
Comment écrire une équation de droite à partir d'un vecteur ?
Calculer le vecteur qui relie A et B. Ecrire la représentation paramétrique à l’aide d’un des points et du vecteur directeur u=(AB).
Comment déterminer que trois points sont alignés ?
Trouve les coordonnées des vecteurs AB et AC. Si ces vecteurs sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.
Comment déterminer une équation de droite ?
Calcule le coefficient directeur a :
a=(b_y-a_y)/(b_x-a_x )
Trouve l’ordonnée à l’origine b en remplaçant les coordonnées d’un point dans la forme réduite de la droite :
a_y=a×a_x+b ou b_y=a×b_x+b
Comment représenter une équation de droite ?
Forme cartésienne : ux+vy+w=0 avec un vecteur directeur "-vu" et un vecteur normal "uv".
Forme réduite : y=ax+b où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
