Système de coordonnées : combinaisons linéaires et coordonnées de vecteurs

Bases et combinaisons linéaires

N’importe quel vecteur $$\overrightarrow a$$​ du plan peut être formé en multipliant par un scalaire et additionnant deux vecteurs non parallèles $$\overrightarrow i$$​ et $$\overrightarrow j$$​.  On appelle alors $$\overrightarrow i$$​ et $$\overrightarrow j$$​ des vecteurs de base et on dit que  est une combinaison linéaire de $$\overrightarrow i$$​ et $$\overrightarrow j$$​.

Si $$\overrightarrow i$$​ et $$\overrightarrow j$$​ sont perpendiculaires l’un à l’autre, ils forment une base orthogonale. Si en plus ils sont tous les deux de longueur $$1$$​, on parle de base orthonormée.

Note : Si les vecteurs $$\overrightarrow i$$​ et $$\overrightarrow j$$​ sont parallèles, ils ne peuvent que générer les vecteurs sur une ligne. Ils ne forment donc pas une base du plan.

BASE	BASE ORTHOGONALE	BASE ORTHONORMÉE

Abscisse et ordonnée d’un vecteur

Dans une combinaison linéaire $$\overrightarrow a=x\overrightarrow i + y\overrightarrow j$$​, le scalaire $$x$$​ multipliant $$\overrightarrow i$$​ s’appelle l’abscisse et le scalaire $$y$$​ multipliant $$\overrightarrow j$$​ s’appelle l’ordonnée. Ensemble, on les appelle les coordonnées du vecteur $$\overrightarrow a$$​.

Note : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées $$x$$​ et $$y$$​ sont égales.

Exemple

Ici, le vecteur $$\overrightarrow a$$​ est égal à une fois le vecteur $$\overrightarrow i$$​ plus trois fois le vecteur $$\overrightarrow j$$​.

$$\overrightarrow a=\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$$​​

Son abscisse est $$1$$​ et son ordonnée est $$3$$​.