Un système d’équations est formé de plusieurs équations avec plusieurs variables.
Le but est de calculer les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Méthode de résolution graphique

Intersection de fonctions linéaires
Cette méthode de résolution n’est possible que pour plusieurs équations à deux inconnues.

Méthode

Résous les deux équations en

y

Dessine les deux fonctions linéaires définies par les équations dans un système de coordonnées :

$y=ax+b$	$a:$ coefficient directeur
	$b:$ ordonnée à l’origine

Détermine le point d’intersection des droites.
Les valeurs coordonnées

x

y

du point d’intersection donnent la solution du système d’équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$
Résous en $y$ :
$\begin{cases}y&=2x+1\\y&=x-1\end{cases}$
Déduis les solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthodes de résolution algébriques

En fonction de l’équation, l’une des méthodes suivantes est plus adaptée. Il est souvent précisé avec quelle méthode il faut résoudre le système d’équations.

Équation à partir d’une variable isolée

Méthode

1.	Isole la même variable dans les deux équations.
2.	Pose une équation avec les expressions obtenues pour la variable (une de chaque côté de l’égalité).
3.	Résous l’équation.
4.	Introduis le résultat dans l’une des équations trouvées à l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Isole $y$  :

$\begin{cases}y&=1+2x\\y&=x-1\end{cases}$

Pose l’équation :

$1+2x=x-1\\\underline{x=-2}$

Introduis dans une des équations au-dessus :

$y=1+2×(-2)\\\underline{y=-3}$

Solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthode par substitution

Méthode

1.	Résous l’une des équations en une variable.
2.	Substitue dans l’autre équation : Remplace la variable par l’expression obtenue.
3.	Résous cette nouvelle équation.
4.	Introduis la valeur trouvée dans l’équation de l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$

Transforme la deuxième équation :

$y=2x+4$

Substitue $y$ dans la première équation :

$0,5x=2-2\times(2x+4)$

Résous l’équation :

$\underline{x=-\frac43}$

Introduis la valeur de $x$ dans la deuxième équation :

$y=2\times(-\frac43)+4\\\underline{y=\frac43}$

Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

Méthode par addition ou soustraction

Méthode

1.	Transforme les équations : Toutes les variables d’un côté Toutes les constantes de l’autre côté *Conseil :* Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.
2.	Ajuste les coefficients d’une variable : Multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans les deux équations.
3.	Soustrais une équation à l’autre : Soustrais les termes à gauche et ceux à droite indépendamment. Écris l’équation résultante. *Conseil :* La variable choisie à l’étape 2 a été supprimée.
4.	Résous l’équation obtenue.
5.	Introduis la valeur trouvée dans une des équations de départ pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$
Transforme :
$-2x+y$	$=$	$2$
$-2x+y$	$=$	$4$
Ajuste le coefficient de $y$ * :*
$-2x+y$	$=$	$4$	$\|\times2$

$0,5x+2y$	$=$	$2$
$-4x+2y$	$=$	$8$
Soustrais les équations :
$0,5x-(-4x)+2y-2y$	$=$	$2-8$
Résous l’équation :
$x$	$=$	$-\frac43$
Introduis la valeur de $x$ * dans une des équations originales :*
$-4+y$	$=$	$2\times(-\frac43)$
$y$	$=$	$\frac43$
Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

Mathématiques; Systèmes d'équations; 2de générale; Systèmes d'équations à deux inconnues

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment résoudre par le calcul un système d'équations avec deux inconnues ?

Pose l'équation en une seule ligne, en essayant de substituer "y" par les termes qui le définissent pour obtenir une équation avec une seule variable.

Comment résoudre un système d'équations ?

Trace un graphique qui représente les différentes équations pour mettre en évidence les points de rencontre, et donc les valeurs des inconnues. Sinon, résous de façon algébrique.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui permettent de trouver, en les utilisant, la valeur de plusieurs inconnues.

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