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Systèmes d'équations

Systèmes d'équations à deux inconnues

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Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Probabilités

Expériences aléatoires simples

Expériences aléatoires composées

Représentation d'expériences aléatoires composées

Probabilités : définitions et propriétéss

Théorie des ensembles et diagramme de Venn

Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes

Échantillonnage : fluctuation et intervalle

Lois de probabilités : définitions et tableaux

Statistiques

Statistiques : moyenne simple et pondérée

Statistiques : quartiles

Dispersion : écart interquartile et écart type

Pourcentage

Pourcentage, variation absolue et relative

Droites

Équation de droite et alignement de points

Projection orthogonale

Relations entre droites

Intersection de deux droites : positions et points

Vecteurs

Vecteurs : translation et rapports entre vecteurs

Vecteurs - Opérations et règles de calcul

Système de coordonnées : combinaisons linéaires et coordonnées de vecteurs

Composantes de vecteurs : représentation et vecteurs spéciaux

Calcul vectoriel : règles de calcul

Indépendance linéaire : deux vecteurs et vecteur nul

Déterminant et colinéarité

Trigonométrie

Sinus, cosinus et tangente

Relations trigonométriques

Formule d'Al-Kashi

Fonctions racines

Fonction : racine carrée et propriétés

Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant naturel

Fonctions rationnelles

Fonction inverse : propriété, définition et représentation

Fonctions du second degré

Fonctions du second degré : fonction carré

Fonctions linéaires

Fonctions linéaires : affine, linéaire et constante

Problèmes avec fonctions linéaires

Fonctions

Fonctions : dépendance et représentation

Fonctions : domaine de définition

Fonctions : fonctions paires et impaires

Fonctions : variations et extremums

Résumé des différents types de fonctions

Systèmes d'équations

Systèmes d'équations à deux inconnues

Problèmes à deux inconnues : système d'équations

Autres équations

Équations avec racine : équation paramétrique

Inéquations

Inéquations : signes de relation et résolution

Inéquations linéaires : signes de relation et résolution

Inéquations avec fractions : variables au dénominateur

Équations avec fractions

Équations avec fractions - Sans variables au dénominateur

Équations avec fractions - Avec variable au dénominateur

Équations linéaires

Équations linéaires - transformer et résoudre

Résolution de problèmes avec équations linéaires

Expressions littérales générales

Expressions rationnelles : définitions et simplifier

Expressions rationnelles : simplification somme et fraction

Expressions rationnelles : simplification puissances

Expressions avec racines : extraire et simplifier

Factorisation

Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Factorisation : approche à deux termes

Développement d'expressions littérales

Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Notions de base du calcul littéral

Calcul littéral : règles et priorités de calcul

Simplification de termes généraux

Valeur absolue

Valeur absolue : définitions, conseils et distances

Racines

Racine carrée : définition, propriétés et calculs

Puissances et racines : priorités des opérations et calcul

Puissances

Puissances : définition, propriétés et règles de calcul

Fractions

Fractions - Augmenter, réduire et comparer

Conversion de fractions : décimaux et pourcentages

Addition et soustraction de fractions

Multiplication et division de fractions

Nombres

Nombres réels : rationnels, irrationnels et règles

Ensembles de nombres : structures et intervalles

Vidéo Explicative

Enseignant: Elisa

Résumés

Systèmes d’équations à deux inconnues

Définition

Un système d’équations est formé de plusieurs équations avec plusieurs variables.
Le but est de calculer les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Méthode de résolution graphique

Intersection de fonctions linéaires
Cette méthode de résolution n’est possible que pour plusieurs équations à deux inconnues.

Méthode

Résous les deux équations en

y

Dessine les deux fonctions linéaires définies par les équations dans un système de coordonnées :

$y=ax+b$	$a:$ coefficient directeur
	$b:$ ordonnée à l’origine

Détermine le point d’intersection des droites.
Les valeurs coordonnées

x

y

du point d’intersection donnent la solution du système d’équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$
Résous en $y$ :
$\begin{cases}y&=2x+1\\y&=x-1\end{cases}$
Déduis les solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthodes de résolution algébriques

En fonction de l’équation, l’une des méthodes suivantes est plus adaptée. Il est souvent précisé avec quelle méthode il faut résoudre le système d’équations.

Équation à partir d’une variable isolée

Méthode

1.	Isole la même variable dans les deux équations.
2.	Pose une équation avec les expressions obtenues pour la variable (une de chaque côté de l’égalité).
3.	Résous l’équation.
4.	Introduis le résultat dans l’une des équations trouvées à l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Isole $y$  :

$\begin{cases}y&=1+2x\\y&=x-1\end{cases}$

Pose l’équation :

$1+2x=x-1\\\underline{x=-2}$

Introduis dans une des équations au-dessus :

$y=1+2×(-2)\\\underline{y=-3}$

Solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthode par substitution

Méthode

1.	Résous l’une des équations en une variable.
2.	Substitue dans l’autre équation : Remplace la variable par l’expression obtenue.
3.	Résous cette nouvelle équation.
4.	Introduis la valeur trouvée dans l’équation de l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$

Transforme la deuxième équation :

$y=2x+4$

Substitue $y$ dans la première équation :

$0,5x=2-2\times(2x+4)$

Résous l’équation :

$\underline{x=-\frac43}$

Introduis la valeur de $x$ dans la deuxième équation :

$y=2\times(-\frac43)+4\\\underline{y=\frac43}$

Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

Méthode par addition ou soustraction

Méthode

1.	Transforme les équations : Toutes les variables d’un côté Toutes les constantes de l’autre côté *Conseil :* Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.
2.	Ajuste les coefficients d’une variable : Multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans les deux équations.
3.	Soustrais une équation à l’autre : Soustrais les termes à gauche et ceux à droite indépendamment. Écris l’équation résultante. *Conseil :* La variable choisie à l’étape 2 a été supprimée.
4.	Résous l’équation obtenue.
5.	Introduis la valeur trouvée dans une des équations de départ pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$
Transforme :
$-2x+y$	$=$	$2$
$-2x+y$	$=$	$4$
Ajuste le coefficient de $y$ * :*
$-2x+y$	$=$	$4$	$\|\times2$

$0,5x+2y$	$=$	$2$
$-4x+2y$	$=$	$8$
Soustrais les équations :
$0,5x-(-4x)+2y-2y$	$=$	$2-8$
Résous l’équation :
$x$	$=$	$-\frac43$
Introduis la valeur de $x$ * dans une des équations originales :*
$-4+y$	$=$	$2\times(-\frac43)$
$y$	$=$	$\frac43$
Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Systèmes d'équations à deux inconnues

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment résoudre par le calcul un système d'équations avec deux inconnues ?

Pose l'équation en une seule ligne, en essayant de substituer "y" par les termes qui le définissent pour obtenir une équation avec une seule variable.

Comment résoudre un système d'équations ?

Trace un graphique qui représente les différentes équations pour mettre en évidence les points de rencontre, et donc les valeurs des inconnues. Sinon, résous de façon algébrique.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui permettent de trouver, en les utilisant, la valeur de plusieurs inconnues.

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Échantillonnage : fluctuation et intervalle

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Statistiques

Statistiques : moyenne simple et pondérée

Statistiques : quartiles

Dispersion : écart interquartile et écart type

Pourcentage

Pourcentage, variation absolue et relative

Droites

Équation de droite et alignement de points

Projection orthogonale

Relations entre droites

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Vecteurs

Vecteurs : translation et rapports entre vecteurs

Vecteurs - Opérations et règles de calcul

Système de coordonnées : combinaisons linéaires et coordonnées de vecteurs

Composantes de vecteurs : représentation et vecteurs spéciaux

Calcul vectoriel : règles de calcul

Indépendance linéaire : deux vecteurs et vecteur nul

Déterminant et colinéarité

Trigonométrie

Sinus, cosinus et tangente

Relations trigonométriques

Formule d'Al-Kashi

Fonctions racines

Fonction : racine carrée et propriétés

Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant naturel

Fonctions rationnelles

Fonction inverse : propriété, définition et représentation

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Fonctions du second degré : fonction carré

Fonctions linéaires

Fonctions linéaires : affine, linéaire et constante

Problèmes avec fonctions linéaires

Fonctions

Fonctions : dépendance et représentation

Fonctions : domaine de définition

Fonctions : fonctions paires et impaires

Fonctions : variations et extremums

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Problèmes à deux inconnues : système d'équations

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Inéquations

Inéquations : signes de relation et résolution

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Inéquations avec fractions : variables au dénominateur

Équations avec fractions

Équations avec fractions - Sans variables au dénominateur

Équations avec fractions - Avec variable au dénominateur

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Équations linéaires - transformer et résoudre

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Expressions rationnelles : simplification somme et fraction

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Factorisation

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Calcul littéral : règles et priorités de calcul

Simplification de termes généraux

Valeur absolue

Valeur absolue : définitions, conseils et distances

Racines

Racine carrée : définition, propriétés et calculs

Puissances et racines : priorités des opérations et calcul

Puissances

Puissances : définition, propriétés et règles de calcul

Fractions

Fractions - Augmenter, réduire et comparer

Conversion de fractions : décimaux et pourcentages

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Systèmes d’équations à deux inconnues

Définition

Un système d’équations est formé de plusieurs équations avec plusieurs variables.
Le but est de calculer les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Méthode de résolution graphique

Intersection de fonctions linéaires
Cette méthode de résolution n’est possible que pour plusieurs équations à deux inconnues.

Méthode

Résous les deux équations en

y

Dessine les deux fonctions linéaires définies par les équations dans un système de coordonnées :

$y=ax+b$	$a:$ coefficient directeur
	$b:$ ordonnée à l’origine

Détermine le point d’intersection des droites.
Les valeurs coordonnées

x

y

du point d’intersection donnent la solution du système d’équations.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$
Résous en $y$ :
$\begin{cases}y&=2x+1\\y&=x-1\end{cases}$
Déduis les solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthodes de résolution algébriques

En fonction de l’équation, l’une des méthodes suivantes est plus adaptée. Il est souvent précisé avec quelle méthode il faut résoudre le système d’équations.

Équation à partir d’une variable isolée

Méthode

1.	Isole la même variable dans les deux équations.
2.	Pose une équation avec les expressions obtenues pour la variable (une de chaque côté de l’égalité).
3.	Résous l’équation.
4.	Introduis le résultat dans l’une des équations trouvées à l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}y-2x&=1\\1+y&=x\end{cases}$

Isole $y$  :

$\begin{cases}y&=1+2x\\y&=x-1\end{cases}$

Pose l’équation :

$1+2x=x-1\\\underline{x=-2}$

Introduis dans une des équations au-dessus :

$y=1+2×(-2)\\\underline{y=-3}$

Solutions : $S=\{ (-2 ; -3) \}$

Méthode par substitution

Méthode

1.	Résous l’une des équations en une variable.
2.	Substitue dans l’autre équation : Remplace la variable par l’expression obtenue.
3.	Résous cette nouvelle équation.
4.	Introduis la valeur trouvée dans l’équation de l’étape 1 pour calculer la valeur de l’autre variable.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$

Transforme la deuxième équation :

$y=2x+4$

Substitue $y$ dans la première équation :

$0,5x=2-2\times(2x+4)$

Résous l’équation :

$\underline{x=-\frac43}$

Introduis la valeur de $x$ dans la deuxième équation :

$y=2\times(-\frac43)+4\\\underline{y=\frac43}$

Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

Méthode par addition ou soustraction

Méthode

1.	Transforme les équations : Toutes les variables d’un côté Toutes les constantes de l’autre côté *Conseil :* Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.
2.	Ajuste les coefficients d’une variable : Multiplie les équations de sorte que le coefficient d’une des variables soit le même dans les deux équations.
3.	Soustrais une équation à l’autre : Soustrais les termes à gauche et ceux à droite indépendamment. Écris l’équation résultante. *Conseil :* La variable choisie à l’étape 2 a été supprimée.
4.	Résous l’équation obtenue.
5.	Introduis la valeur trouvée dans une des équations de départ pour calculer la valeur de l’autre variable. *Conseil :* Peu importe quelle équation tu utilises, tu obtiendras le même résultat.

Exemple

$\begin{cases}0,5x&=2-2y\\-4+y&=2x\end{cases}$
Transforme :
$-2x+y$	$=$	$2$
$-2x+y$	$=$	$4$
Ajuste le coefficient de $y$ * :*
$-2x+y$	$=$	$4$	$\|\times2$

$0,5x+2y$	$=$	$2$
$-4x+2y$	$=$	$8$
Soustrais les équations :
$0,5x-(-4x)+2y-2y$	$=$	$2-8$
Résous l’équation :
$x$	$=$	$-\frac43$
Introduis la valeur de $x$ * dans une des équations originales :*
$-4+y$	$=$	$2\times(-\frac43)$
$y$	$=$	$\frac43$
Solutions : $S=\{ (-\frac43 ; \frac43) \}$

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Test final

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment résoudre par le calcul un système d'équations avec deux inconnues ?

Pose l'équation en une seule ligne, en essayant de substituer "y" par les termes qui le définissent pour obtenir une équation avec une seule variable.

Comment résoudre un système d'équations ?

Trace un graphique qui représente les différentes équations pour mettre en évidence les points de rencontre, et donc les valeurs des inconnues. Sinon, résous de façon algébrique.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui permettent de trouver, en les utilisant, la valeur de plusieurs inconnues.