Résumé des différents types de fonctions

Fonction

Définition

Une fonction attribue exactement une valeur $$y$$​ (image) à chaque valeur de $$x$$​ (antécédent).

Formes de représentation

Équation

On peut calculer la valeur $$y$$​ qui correspond à une valeur $$x$$​ en évaluant l’expression (à droite) en $$x$$​.

​$$y=2x-1$$​​

Exemple  

$$x=2$$​​

Valeur $$y$$ correspondante : $$y=2×2-1=3$$​​

Graphe

On peut lire la valeur $$y$$​ qui correspond à une valeur $$x$$​ dans le graphique.

Exemple   $$x=2$$​​ Valeur $$y$$​ correspondante : $$y=3$$​​

Aperçu des types de fonction

Fonctions constantes

L’équation d’une fonction constante est de la forme $$y=b$$​ , où $$b$$​  est une constante.

Les fonctions constantes ont donc une valeur fixe qui ne dépend pas de $$x$$​ . Leur graphe est une ligne horizontale.

Exemple   $$y=1,2$$​​

Fonctions du premier degré

L’équation d’une fonction du premier degré est de la forme $$y=ax+b$$​, où $$a$$​ et $$b$$​ sont des nombres réels. On appelle $$a$$​ le coefficient directeur et $$b$$​ l’ordonnée à l’origine.

Si $$b=0$$​, on dit que la fonction est linéaire. Elle passe alors par l’origine (le point $$(0 ; 0)$$​).

Si $$b≠0$$​, on dit que la fonction est affine. Elle ne passe pas par l’origine.

Exemple 

Fonction linéaire	Fonction affine
​$$y=0,5x$$​​	​$$y=0,5x+1$$​​

​Fonctions polynomiales

L’équation d’une fonction polynomiale est de la forme suivante :

​$$y=⋯+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x + a_0$$​​

Les coefficients $$a_n$$​ sont des nombres réels.

Note : Les fonctions constantes, linéaires et affines sont également des fonctions polynomiales.

Si le plus haut exposant d’une fonction polynomiale est $$2$$​, on dit aussi que cette fonction est carrée.

Exemple 

Fonction carrée	Fonction polynomiale générale

Fonctions puissances

L’équation d’une fonction puissance est de la forme suivante $$y=x^a$$, où $$a$$ est un nombre entier.

La forme générale du graphe d’une fonction puissance dépend de la parité (pair/impair) et du signe (positif/négatif) de l’exposant $$a$$​.
Lorsque l’exposant $$a$$​ est $$<1$$​, on obtient une fonction racine. La fonction racine carrée $$y=√x$$​ peut ainsi s’écrire $$y=x^\frac{1}{2}$$​. Une fonction $$y=x^\frac{1}{a}=\sqrt[a]{x}$$  avec $$a$$​ pair n’est définie que sur l’ensemble $$[0,+∞[$$​.

Exemple 

Exposant positif pair​	Exposant positif impair
Exposant négatif pair	Exposant négatif impair
Exposant $$\frac{1}{a}$$​, $$a$$​ pair​	​Exposant $$\frac{1}{a}$$​​, $$a$$​​ impair​

 Conseil : Les fonctions puissances avec exposant négatif sont appelées « fonctions rationnelles ».

Fonctions exponentielles

L’équation d’une fonction exponentielle est de la forme suivante : $$y=a^x$$​, où $$a$$​ est un nombre réel positif appelé la « base ».

Le graphe passe toujours par le point $$(1 ; 0)$$​ mais sa forme générale diffère selon si $$a$$​ est plus grand ou plus petit que $$1$$​.

Exemple 

Base $$a>1$$​​	Base $$0<a<1$$​​

Fonctions logarithmiques

L’équation d’une fonction logarithmique est de la forme suivante : $$y=log_a⁡(x)$$​, où $$a$$​ est un nombre réel (la base du logarithme).

Le graphe passe toujours par le point $$(1 ; 0)$$​ mais sa forme générale dépend du signe de $$a$$​.

Exemple 

Base positive	Base négative

Fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont deux fonctions trigonométriques. Leur équation s’écrit respectivement $$y=sin⁡(x)$$​ et $$y=cos⁡(x)$$​. Ces fonctions sont périodiques entre $$0$$​ et $$2π$$​, ce qui veut dire que leur graphe se répète. L’image $$y$$​ des fonctions sinus et cosinus est comprise entre $$-1$$​ et $$1$$​.

Exemple 

Fonction sinus	Fonction cosinus