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Résumé des différents types de fonctions

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Enseignant: Lomàn

Résumés

Résumé des différents types de fonctions

Fonction

Définition

Une fonction attribue exactement une valeur yy​ (image) à chaque valeur de xx​ (antécédent).



Formes de représentation

Équation

On peut calculer la valeur yy​ qui correspond à une valeur xx​ en évaluant l’expression (à droite) en xx​.

y=2x1y=2x-1​​



Exemple  

x=2 x=2​​

Valeur yy correspondantey=2×21=3y=2×2-1=3​​



Graphe

On peut lire la valeur yy​ qui correspond à une valeur xx​ dans le graphique.


Exemple  

x=2 x=2​​

Valeur yy​ correspondante : y=3y=3​​



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Aperçu des types de fonction

Fonctions constantes

L’équation d’une fonction constante est de la forme y=by=b , où bb  est une constante.

Les fonctions constantes ont donc une valeur fixe qui ne dépend pas de xx . Leur graphe est une ligne horizontale.

Exemple  

y=1,2y=1,2​​
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Fonctions du premier degré

L’équation d’une fonction du premier degré est de la forme y=ax+by=ax+b​, où aa​ et bb​ sont des nombres réels. On appelle aa​ le coefficient directeur et bb​ l’ordonnée à l’origine.


Si b=0b=0​, on dit que la fonction est linéaire. Elle passe alors par l’origine (le point (0;0)(0 ; 0)​).

Si b0b≠0​, on dit que la fonction est affine. Elle ne passe pas par l’origine.

Exemple 

 

Fonction linéaire

Fonction affine

y=0,5xy=0,5x​​
y=0,5x+1y=0,5x+1​​
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​Fonctions polynomiales

L’équation d’une fonction polynomiale est de la forme suivante :


y=+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0y=⋯+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x + a_0​​


Les coefficients ana_n​ sont des nombres réels.



Note : Les fonctions constantes, linéaires et affines sont également des fonctions polynomiales.

Si le plus haut exposant d’une fonction polynomiale est 22​, on dit aussi que cette fonction est carrée.



Exemple 

Fonction carrée

Fonction polynomiale générale

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Fonctions puissances

L’équation d’une fonction puissance est de la forme suivante y=xay=x^a, où aa est un nombre entier.

La forme générale du graphe d’une fonction puissance dépend de la parité (pair/impair) et du signe (positif/négatif) de l’exposant aa​.
Lorsque l’exposant aa​ est <1<1​, on obtient une fonction racine. La fonction racine carrée y=xy=√x​ peut ainsi s’écrire y=x12y=x^\frac{1}{2}​. Une fonction y=x1a=xay=x^\frac{1}{a}=\sqrt[a]{x}  avec aa ​ pair n’est définie que sur l’ensemble [0,+[[0,+∞[​.


Exemple 

Exposant positif pair​

Exposant positif impair

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Exposant négatif pair

Exposant négatif impair

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Exposant 1a\frac{1}{a}​, aa​ pair​

Exposant 1a\frac{1}{a}aa impair

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 Conseil : Les fonctions puissances avec exposant négatif sont appelées « fonctions rationnelles ».



Fonctions exponentielles

L’équation d’une fonction exponentielle est de la forme suivante : y=axy=a^x​, où aa​ est un nombre réel positif appelé la « base ».

Le graphe passe toujours par le point (1;0) (1 ; 0)​ mais sa forme générale diffère selon si aa​ est plus grand ou plus petit que 11​.



Exemple 

Base a>1a>1​​

Base 0<a<10<a<1​​

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Fonctions logarithmiques

L’équation d’une fonction logarithmique est de la forme suivante : y=loga(x)y=log_a⁡(x)​, où aa​ est un nombre réel (la base du logarithme).

Le graphe passe toujours par le point (1;0)(1 ; 0)​ mais sa forme générale dépend du signe de aa​.


Exemple 

Base positive

Base négative

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Fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont deux fonctions trigonométriques. Leur équation s’écrit respectivement y=sin(x)y=sin⁡(x)​ et y=cos(x)y=cos⁡(x)​. Ces fonctions sont périodiques entre 00​ et 2π​, ce qui veut dire que leur graphe se répète. L’image yy​ des fonctions sinus et cosinus est comprise entre 1-1​ et 11​.


Exemple 

Fonction sinus

Fonction cosinus

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est ce qu'une fonction puissance ?

Quelles sont les fonctions du premier degré et leur définition ?

Qu'est ce qu'une fonction constante ?

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