Résumé des différents types de fonctions

Fonction

Définition

Une fonction attribue exactement une valeur $y$ (image) à chaque valeur de $x$ (antécédent).

Formes de représentation

Équation

On peut calculer la valeur $y$ qui correspond à une valeur $x$ en évaluant l’expression (à droite) en $x$ .

$y=2x-1$

Exemple

$x=2$

Valeur $y$ correspondante : $y=2×2-1=3$

Graphe

On peut lire la valeur $y$ qui correspond à une valeur $x$ dans le graphique.

Exemple

$x=2$

Valeur $y$ correspondante : $y=3$

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Aperçu des types de fonction

Fonctions constantes

L’équation d’une fonction constante est de la forme $y=b$ , où $b$ est une constante.

Les fonctions constantes ont donc une valeur fixe qui ne dépend pas de $x$ . Leur graphe est une ligne horizontale.

Exemple

$y=1,2$

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Fonctions du premier degré

L’équation d’une fonction du premier degré est de la forme $y=ax+b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels. On appelle $a$ le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Si $b=0$ , on dit que la fonction est linéaire. Elle passe alors par l’origine (le point $(0 ; 0)$ ).

Si $b≠0$ , on dit que la fonction est affine. Elle ne passe pas par l’origine.

Exemple

Fonction linéaire	Fonction affine
$y=0,5x$	$y=0,5x+1$

Fonctions polynomiales

L’équation d’une fonction polynomiale est de la forme suivante :

$y=⋯+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x + a_0$

Les coefficients $a_n$ sont des nombres réels.

Note : Les fonctions constantes, linéaires et affines sont également des fonctions polynomiales.

Si le plus haut exposant d’une fonction polynomiale est $2$ , on dit aussi que cette fonction est carrée.

Exemple

Fonction carrée	Fonction polynomiale générale

Fonctions puissances

L’équation d’une fonction puissance est de la forme suivante $y=x^a$ , où $a$ est un nombre entier.

La forme générale du graphe d’une fonction puissance dépend de la parité (pair/impair) et du signe (positif/négatif) de l’exposant $a$ .
Lorsque l’exposant $a$ est $<1$ , on obtient une fonction racine. La fonction racine carrée $y=√x$ peut ainsi s’écrire $y=x^\frac{1}{2}$ . Une fonction $y=x^\frac{1}{a}=\sqrt[a]{x}$ avec $a$ pair n’est définie que sur l’ensemble $[0,+∞[$ .

Exemple

Exposant positif pair	Exposant positif impair

Exposant négatif pair	Exposant négatif impair

Exposant $\frac{1}{a}$ , $a$ pair	Exposant $\frac{1}{a}$ , $a$ impair

Conseil : Les fonctions puissances avec exposant négatif sont appelées « fonctions rationnelles ».

Fonctions exponentielles

L’équation d’une fonction exponentielle est de la forme suivante : $y=a^x$ , où $a$ est un nombre réel positif appelé la « base ».

Le graphe passe toujours par le point $(1 ; 0)$ mais sa forme générale diffère selon si $a$ est plus grand ou plus petit que $1$ .

Exemple

Base $a>1$	Base $0<a<1$

Fonctions logarithmiques

L’équation d’une fonction logarithmique est de la forme suivante : $y=log_a⁡(x)$ , où $a$ est un nombre réel (la base du logarithme).

Le graphe passe toujours par le point $(1 ; 0)$ mais sa forme générale dépend du signe de $a$ .

Exemple

Base positive	Base négative

Fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus sont deux fonctions trigonométriques. Leur équation s’écrit respectivement $y=sin⁡(x)$ et $y=cos⁡(x)$ . Ces fonctions sont périodiques entre $0$ et $2π$ , ce qui veut dire que leur graphe se répète. L’image $y$ des fonctions sinus et cosinus est comprise entre $-1$ et $1$ .

Exemple

Fonction sinus	Fonction cosinus