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Composantes de vecteurs : représentation et vecteurs spéciaux

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Enseignant: Clémence

Résumés

Composantes de vecteurs : représentation et vecteurs spéciaux

Représentation

Pour travailler avec des vecteurs, il est important de pouvoir les décrire avec leurs composantes :


a=(axay),\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix},  axa_x est la composante en xx et aya_y la composante en yy.



Longueur

Calcul de la longueur (ou norme) d’un vecteur :

a=ax2+ay2\rVert\overrightarrow a \lVert = \sqrt{a^2_x+a^2_y}​​



Vecteurs spéciaux

VECTEUR NUL 0\overrightarrow0 

0=(00)\overrightarrow 0 = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} ​​

VECTEUR OPPOSÉ


v=(vxvy)\overrightarrow v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y \end{pmatrix}​  v=(vxvy)-\overrightarrow v= \begin{pmatrix}-v_x\\-v_y\end{pmatrix}


VECTEUR UNITAIRE

Vecteur de longueur « 11 ». Vecteur unitaire de v\overrightarrow v  vu=1v(vxvy)\overrightarrow{v_u}=\frac{1}{\lVert\overrightarrow{v}\rVert}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}



Points et vecteurs

Vecteur position (rayon vecteur)

On peut décrire chaque point PP dans le système de coordonnées avec un vecteur position.

Le vecteur position va de l’origine au point.

On écrit OP\overrightarrow{OP}.

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Exemple 

Vecteur position de P(3;1)P(3;1)

0P=(31)(00)=(31)\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}​​


Vecteur entre deux points

Le vecteur AB\overrightarrow {AB}  va du point AA au point BB. Il indique la distance en chaque coordonnée.


Calcul :

AB=0B=0A=(bxaxbyay)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}=\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\end{pmatrix}​​

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Exemple

Vecteur de A(3;1)A\left(3;1\right) à B(2;4)B(2;4)

AB=0B0A=(2341)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}2-3\\4-1\end{pmatrix}​​








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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer la longueur d'un vecteur dans un repère ?

Quelle est la longueur, ou la norme, d'un vecteur ?

Qu'est-ce qu'un vecteur de position ?

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