Statistiques : moyenne simple et pondérée

Définition

La moyenne sert à mesurer le « centre » d’un ensemble de données. Elle participe à résumer des caractéristiques importantes des données.

L’écart type permet de caractériser la dispersion des données.

Moyenne simple	Moyenne arithmétique
Moyenne pondérée	Moyenne affectée par des coefficients
Écart type	Dispersion

La moyenne simple

La moyenne simple (arithmétique) est la valeur que chacun reçoit dans un partage équitable.

On la dénote souvent avec une barre horizontale : $\bar{x}$ .

Formule

On additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre de valeurs :

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\times\sum_{i=1}^{n}x_i$

$x_1,x_2,...,x_n$ : valeurs des données mesurées
$n$ : nombre de données mesurées

Caractéristiques

La somme de tous les écarts à la moyenne est $0$ .
La moyenne est sensible aux valeurs aberrantes, ce qui veut dire qu’une donnée beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite que les autres peut avoir un grand effet sur la moyenne.

Exemple

Liste de données :

Mathématiques; Statistiques; 5e; Statistiques : moyenne simple et pondérée

L’écart type

L’écart type se calcule à partir de la moyenne simple. Comme son nom l’indique, il caractérise l’écart des données par rapport à la moyenne simple.

Formule

On calcule la somme des différences au carré entre les valeurs et la moyenne simple, on divise par le nombre de données et on prend la racine.

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\times(\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)^2)}=\sqrt{\frac{1}{n}\times\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline{x})}^2}$

$x_1,x_2,...,x_n$ : valeurs des données mesurées
$\overline{x}\$ : moyenne simple
$n$ : nombre de valeurs données

Exemple

Liste de données :

Mathématiques; Statistiques; 5e; Statistiques : moyenne simple et pondérée

La moyenne pondérée

La moyenne pondérée est la valeur que chacun reçoit dans un partage non-équitable. Les données ont alors chacune un poids/coefficient.

Formule

On additionne toutes les valeurs multipliées par leur coefficient respectif et on divise par la somme des coefficients.

$\bar{x}=\frac{x_1\times m_1+x_2\times m_2+...+x_n\times m_n}{M}=\frac{1}{M}\times\sum_{i=1}^{n}{x_i\times m_i}$

Avec :

$M=\sum_{i=1}^{n}m_i$

$x_1,x_2,...,x_n$ : valeurs des données mesurées
$m_1,m_2,...,m_n$ : coefficients
$M$ : Somme des coefficients

Exemple

Mathématiques; Statistiques; 5e; Statistiques : moyenne simple et pondérée