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Équations avec racine : équation paramétrique

Le plus important en quelques mots 

On cherche à résoudre une équation avec une racine contenant l’inconnue. 

Exemple 

​$$\sqrt{55-3x}-x=5$$​​

On doit d’abord déterminer le « domaine de définition » de l’inconnue. Puis, on détermine la solution de l’équation. 

Déterminer le domaine de définition 

Le domaine de définition $$\Bbb D$$​ de l’inconnue est le domaine où l’expression sous la racine est positive. 

Méthode 

Résoudre l’équation 

Les équations avec racine nécessitent une méthode spéciale : 

Méthode 

Conseil : S’il y a plusieurs racines on doit généralement commencer par isoler une racine, suivre l’étape 2, puis éliminer les racines restantes une à une de la même façon. 

Exemple

​$$\sqrt{55-3x}-x=5$$​​

Domaine de définition de $$x$$​ : condition $$55-3x\ge0$$​ 

​$$x\le\frac{55}{3}=18.\overline3\\ \Bbb D=\R_{\le55/3}$$​​

Isole la racine : 

​$$\sqrt{55-3x}=5+x$$​​

Condition supplémentaire :

​$$5+x\ge0$$​​

Élève les côtés au carré :

​$$55-3x=(5+x)^2\\55-3x=x^2+10x+25$$​​

Résous l’équation du second degré comme d’habitude :

​$$0=x^2+13x-30\\ 0=(x-2)(x+15)$$​​

Solutions potentielles : $$x=2$$​ et $$x=-15$$​

Les deux valeurs appartiennent au domaine de définition mais $$x=-15$$​ ne respecte pas la condition $$5+x\ge0$$​. La seule solution est donc $$x=2$$. 

Équation paramétrique avec racine 

Tout comme dans le cas des équations linéaires, les équations avec racine peuvent contenir des paramètres. Les variables recherchées sont le plus souvent désignées par x,y,z et les paramètres par d’autre lettre de l’alphabet : a,b,c ou encore s,t. 

Méthode 

Exemple 

Résous l’équation et exprime $$x$$​ en fonction des paramètres $$a$$​,$$b$$​.