On cherche à résoudre une équation avec une racine contenant l’inconnue.
Exemple
55−3x−x=5
On doit d’abord déterminer le « domaine de définition » de l’inconnue. Puis, on détermine la solution de l’équation.
Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définition D de l’inconnue est le domaine où l’expression sous la racine est positive.
Méthode
1.
Détermine le domaine de définition de x pour lequel les termes sous la racine sont supérieurs ou égaux à zéro.
2.
Note le domaine de définition en choisissant ce qui convient : Soit D=R≥ borne infeˊrieure du domaine Soit D=R≤ borne infeˊrieure du domaine
Résoudre l’équation
Les équations avec racine nécessitent une méthode spéciale :
Méthode
1.
Isole la racine contenant l’inconnue x à gauche de l’équation.
2.
Le côté ne contenant pas la racine doit être plus grand que 0.
3.
Élève les deux côtés au carré. Note : Note que toute l’expression à droite est élevée au carré ; pas les termes individuels. On a souvent besoin des identités remarquables.
4.
Résous l’équation comme d’habitude.
5.
Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition et la condition de la deuxième étape. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.
Conseil : S’il y a plusieurs racines on doit généralement commencer par isoler une racine, suivre l’étape 2, puis éliminer les racines restantes une à une de la même façon.
Exemple
55−3x−x=5
Domaine de définition de x : condition 55−3x≥0
x≤355=18.3D=R≤55/3
Isole la racine :
55−3x=5+x
Condition supplémentaire :
5+x≥0
Élève les côtés au carré :
55−3x=(5+x)255−3x=x2+10x+25
Résous l’équation du second degré comme d’habitude :
0=x2+13x−300=(x−2)(x+15)
Solutions potentielles : x=2 et x=−15
Les deux valeurs appartiennent au domaine de définition mais x=−15 ne respecte pas la condition 5+x≥0. La seule solution est donc x=2.
Équation paramétrique avec racine
Tout comme dans le cas des équations linéaires, les équations avec racine peuvent contenir des paramètres. Les variables recherchées sont le plus souvent désignées par x,y,z et les paramètres par d’autre lettre de l’alphabet : a,b,c ou encore s,t.
Méthode
1.
Supprime les parenthèses en développant l’expression
2.
Simplifie les termes des deux côtés.
3.
Isole la racine contenant l’inconnue x à gauche de l’équation.
4.
Élève les deux côtés au carré.
5.
Résous l’équation comme d’habitude.
Exemple
Résous l’équation et exprime x en fonction des paramètres a,b.
Développe l’expression :
5(x+a)+2=x+55x+5a+2=x+5
Isole la racine contenant l’inconnuex :
5x+5a=x+5−2=x+3
Élève les deux côtés au carré :
5x+5a=(x+3)2=x2+6x+9
Résous l’équation avec la méthode du discriminant :
