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Enseignant: Clémence

Résumés

Formule d'Al-Kashi

Définition

La formule d’Al-Kashi, également appelée loi des cosinus, s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Mathématiques; Trigonométrie; 2de générale; Formule d'Al-Kashi


Formules

a2=b2+c2−2bc×cos(α)b2=a2+c2−2ac×cos(β)c2=a2+b2−2ab×cos(γ)a^2=b^2+c^2-2bc\times cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\times cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\times cos\left(\gamma\right)a2=b2+c2−2bc×cos(α)b2=a2+c2−2ac×cos(β)c2=a2+b2−2ab×cos(γ)​​


Note : si un angle vaut, alors son cosinus est égal à 000​ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : c2=a2+b2c^2=a^2+b^2c2=a2+b2​.


Exemple 

Résoudre un triangle avec seulement trois informations.

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs α=30°\alpha=30°α=30°​, b=10 cmb=10\ cmb=10 cm​, et c=7 cmc=7\ cmc=7 cm​.


Loi des cosinus pour aaa​ :

a2=102+72−2×10×7×cos(30°)a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos(30°)a2=102+72−2×10×7×cos(30°)​​


a≈5,27 cm‾a\approx\underline{5,27\ cm}a≈5,27 cm​​​


Calcule l’angle β\betaβ​ avec la loi des cosinus :

102=5,272+72−2×5,27 ×7 ×cos(β){10}^2={5,27}^2+7^2-2\times5,27\ \times7\ \times c o s{\left(\beta\right)}102=5,272+72−2×5,27 ×7 ×cos(β)​​


102−5,272−722×5,27 ×7=− cos(β)\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7}=-\ cos{\left(\beta\right)}2×5,27 ×7102−5,272−72​=− cos(β)​​


cos−1(−102−5,272−722×5,27 ×7)=β{cos}^{-1}(-\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7})=\betacos−1(−2×5,27 ×7102−5,272−72​)=β​​


β≈108,35°‾\beta\approx\underline{108,35°}β≈108,35°​​


La somme des angles doit être égale à 180°180°180°​ : 

γ=180°−30°−108,35°=41,65°‾\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}γ=180°−30°−108,35°=41,65°​​​




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Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
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Formule d'Al-Kashi

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelles sont les trois formules d'Al-Kashi ?

a^2=b^2+c^2-2bc×cos(α) b^2=a^2+c^2-2ac×cos(β) c^2=a^2+b^2-2ab×cos(γ)

Comment utiliser la formule d'Al'Kashi dans un triangle rectangle ?

Dans un triangle rectangle, le cosinus est égal à 0 et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : c^2=a^2+b^2.

A quoi sert la formule d'Al'Kashi ?

La formule d'Al'Kashi établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

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