Formule d'Al-Kashi

Définition

La formule d’Al-Kashi, également appelée loi des cosinus, s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Formules

$$a^2=b^2+c^2-2bc\times cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\times cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\times cos\left(\gamma\right)$$​​

Note : si un angle vaut, alors son cosinus est égal à $$0$$​ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : $$c^2=a^2+b^2$$​.

Exemple 

Résoudre un triangle avec seulement trois informations.

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs $$\alpha=30°$$​, $$b=10\ cm$$​, et $$c=7\ cm$$​.

Loi des cosinus pour $$a$$​ :

$$a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos(30°)$$​​

$$a\approx\underline{5,27\ cm}$$​​

Calcule l’angle $$\beta$$​ avec la loi des cosinus :

$${10}^2={5,27}^2+7^2-2\times5,27\ \times7\ \times c o s{\left(\beta\right)}$$​​

$$\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7}=-\ cos{\left(\beta\right)}$$​​

$${cos}^{-1}(-\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7})=\beta$$​​

$$\beta\approx\underline{108,35°}$$​

La somme des angles doit être égale à $$180°$$​ : 

$$\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}$$​​