Puissances et racines : priorités des opérations et calcul

Définitions 

Dans la notation d’une puissance, on appelle le chiffre du bas « la base » et le chiffre du haut « l’exposant ».
La racine est l’inverse de la puissance : il s’agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même (au carré), donnera le nombre sous la racine. 

Exemple 

Dans l’expression  $$3^2$$​, la base est 3 et l’exposant est $$2$$​. 

Priorité des opérations 

Dans le calcul d’une expression mathématique, les puissances et racines ont la priorité sur le reste des opérations. 

Note : Cet ordre de priorité peut être modifié par l’ajout de parenthèses. La partie d’une expression entre parenthèses est toujours prioritaire sur le reste des opérations. 

Exemple 

Calcule l’expression suivante : 

​$$2+3^2\times 4 -8 +\sqrt{1+3\times8}$$​​

Calculer avec des puissances et racines 

Il existe deux cas où il est autorisé de rassembler deux expressions contenant des puissances : soit leurs bases coïncident, soit leurs exposants coïncident. Si au moins une de ces deux conditions est respectée, on peut multiplier ou diviser les expressions selon les règles suivantes : 

Même exposant 

Si deux expressions ont le même exposant, on peut multiplier ou diviser leurs bases : 

​$$3^2×5^2=(3×5)^2=15^2\\ 10^2:2^2=(10: 2)^2=5^2$$​​

Similairement, on peut multiplier et diviser des expressions se trouvant sous la « même famille de racine » (par exemple deux racines cubiques, ou deux racines carrées) : 

​$$\sqrt{7}\times\sqrt{9}=\sqrt{7\times9}=\sqrt{63}$$​​

Même base 

Si deux expressions ont la même base, on peut les multiplier ou diviser entre elles. 

Note : Ces deux règles ne sont pas valables pour l’addition ou la soustraction même si les bases ou les exposant sont les mêmes : 

​$$3^2+5^2\ne8^2\\\sqrt4+\sqrt8\ne\sqrt{12}$$​​

Puissance de puissance 

Si une base et sa puissance sont tous les deux élevés à une puissance, alors on multiplie les exposants : 

​$$(2^3)^4=2^{3\times4}=2^{12}$$​​

Si une puissance est elle-même élevée à une puissance, alors il faut suivre l’ordre habituel des opérations, en calculant d’abord les opérations au sein de l’exposant. 

Exemple 

​$$2^{3^4}$$​​

Je calcule d’abord l’opération au sein de l’exposant, en appliquant l’exposant $$4$$​ au chiffre $$3$$​. 

​$$2^{3\times3\times3\times3}=2^{81}$$​​

J’obtiens $$\underline{2^{81}}$$​.