Puissances et racines : priorités des opérations et calcul

Définitions

Dans la notation d’une puissance, on appelle le chiffre du bas « la base » et le chiffre du haut « l’exposant ».
La racine est l’inverse de la puissance : il s’agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même (au carré), donnera le nombre sous la racine.

Exemple

Dans l’expression $3^2$ , la base est 3 et l’exposant est $2$ .

Priorité des opérations

Dans le calcul d’une expression mathématique, les puissances et racines ont la priorité sur le reste des opérations.

Note : Cet ordre de priorité peut être modifié par l’ajout de parenthèses. La partie d’une expression entre parenthèses est toujours prioritaire sur le reste des opérations.

Exemple

Calcule l’expression suivante :

$2+3^2\times 4 -8 +\sqrt{1+3\times8}$

Commence par les puissances et racines : (A l’intérieur de la racine, on applique également l’ordre de priorité des opérations.)	$2+3^2\times 4 -8 +\sqrt{1+3\times8}=\\2+9× 4 -8 +\sqrt{1+24}=\\2+9× 4 -8 +\sqrt{25}= \\2+9× 4 -8 +5=$
Applique l’ordre des opérations sur le reste de l’expression :	$2+36-8+5=\\\underline{35}$

Calculer avec des puissances et racines

Il existe deux cas où il est autorisé de rassembler deux expressions contenant des puissances : soit leurs bases coïncident, soit leurs exposants coïncident. Si au moins une de ces deux conditions est respectée, on peut multiplier ou diviser les expressions selon les règles suivantes :

Même exposant

Si deux expressions ont le même exposant, on peut multiplier ou diviser leurs bases :

$3^2×5^2=(3×5)^2=15^2\\ 10^2:2^2=(10: 2)^2=5^2$

Similairement, on peut multiplier et diviser des expressions se trouvant sous la « même famille de racine » (par exemple deux racines cubiques, ou deux racines carrées) :

$\sqrt{7}\times\sqrt{9}=\sqrt{7\times9}=\sqrt{63}$

Même base

Si deux expressions ont la même base, on peut les multiplier ou diviser entre elles.

MULTIPLICATION	On additionne les exposants.	$8^3\times8^6=8^{3+6}=8^9$
DIVISION	On soustrait les exposants.	$4^7:4^2=4^{7-2}=4^5$

Note : Ces deux règles ne sont pas valables pour l’addition ou la soustraction même si les bases ou les exposant sont les mêmes :

$3^2+5^2\ne8^2\\\sqrt4+\sqrt8\ne\sqrt{12}$

Puissance de puissance

Si une base et sa puissance sont tous les deux élevés à une puissance, alors on multiplie les exposants :

$(2^3)^4=2^{3\times4}=2^{12}$

Si une puissance est elle-même élevée à une puissance, alors il faut suivre l’ordre habituel des opérations, en calculant d’abord les opérations au sein de l’exposant.

Exemple

$2^{3^4}$

Je calcule d’abord l’opération au sein de l’exposant, en appliquant l’exposant $4$ au chiffre $3$ .

$2^{3\times3\times3\times3}=2^{81}$

J’obtiens $\underline{2^{81}}$ .