Sinus, cosinus et tangente

Côté adjacent, côté opposé et hypoténuse

Définition

Dans un triangle rectangle avec un angle aigu , les côtés ont les noms suivants :

Côté adjacent à $\mathbf{\alpha}$	Côté qui touche l’angle $\alpha$ mais qui n’est pas l’hypoténuse.
Côté opposé à $\mathbf{\alpha}$	Côté qui ne touche pas l’angle $\alpha$ .
Hypoténuse	Côté à l’opposé de l’angle droit, plus long côté du triangle

Mathématiques; Trigonométrie; 3e; Sinus, cosinus et tangente

Note 1 : N’oublie pas que dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s’applique toujours :

$a^2+b^2=c^2$ 

Note 2 : Dans un triangle rectangle, la somme des angles non droits est égale à 90°.

Sinus, cosinus et tangente

Définition

Le sinus ( $sin$ ), le cosinus ( $cos$ ) et la tangente ( $tan$ ) décrivent les relations entre les côtés et les angles d’un triangle rectangle.

À partir de deux côtés ou d’un côté et d’un angle, on peut calculer tous les angles et côtés manquants d’un triangle rectangle.

Sinus

Le sinus d’un angle donne le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse :

$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Côté\ opposé\ à\ α}{Hypoténuse}$

Arc sinus

L’arc sinus (noté $arcsin$ ou ${sin}^{-1}$ ) permet de calculer l’angle $\alpha$ si on connaît la longueur du côté opposé et de l’hypoténuse. L’arc sinus fait donc le contraire du sinus.

$\alpha=sin^{-1}(\frac{Côté\ opposé\ à\ α}{Hypoténuse})$

Cosinus

Le cosinus d’un angle donne le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse :

$cos(\alpha)=\frac{Côté\ adjacent\ à\ α}{Hypoténuse}$

Arc cosinus

L’arc cosinus (noté $arccos$ ou ${cos}^{-1}$ ) permet de calculer l’angle $\alpha$ si on connaît la longueur du côté adjacent et de l’hypoténuse. L’arc cosinus fait donc le contraire du cosinus.

$\alpha=cos^{-1}(\frac{Côté\ adjacent\ à\ α}{Hypoténuse})$

Tangente

La tangente d’un angle donne le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent à l’angle $\alpha$ :

$tan{\left(\alpha\right)}=\frac{Côté\ opposé\ a\ α}{Côté\ adjacent\ a\ α}$

Arc tangente

L’arc tangente (noté $arctan$ ou ${tan}^{-1}$ ) permet de calculer l’angle $\alpha$ si on connaît la longueur du côté opposé et du côté adjacent. L’arc tangente fait donc le contraire de la tangente.

$\alpha=tan^{-1}(\frac{Côté\ opposé\ a\ α}{Côté\ adjacent\ a\ α})$

Note 3 : Rappelle-toi l’expression « SohCahToa » pour te souvenir facilement des définitions de sinus, cosinus et tangente.

SOH : Sinus est égal à l’Opposé sur l'Hypoténuse.
CAH : Cosinus est égal à l’Adjacent sur l’Hypoténuse.
TOA : Tangente est égal à l’Opposé sur l’Adjacent.

Valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente

Il est parfois pratique de connaître les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente pour certains angles.

Mathématiques; Trigonométrie; 3e; Sinus, cosinus et tangente

Note 4 : « Rad » correspond au radian, une unité de mesure utilisée pour calculer un angle. Tu en sauras plus dans la leçon sur le cercle trigonométrique. Ne t’inquiètes pas si tu ne l’as pas encore appris.

Exemple

Calcule l’angle $\alpha$ et l’angle $\beta$ grâce au sinus et au cosinus.

Mathématiques; Trigonométrie; 3e; Sinus, cosinus et tangente

Hypoténuse avec Pythagore :

$\sqrt{3^2+4^2}\ cm=5\ cm$ 

Angle $\alpha$ avec le sinus :

$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Opp}{Hyp}=\frac{3}{5}$ 

Arc sinus :

$\alpha=sin^{-1}(\frac35)=\underline{36,9°}$ 

Angle $\beta$ avec le cosinus :

$cos{\left(\beta\right)}=\frac{Adj}{Hyp}=\frac{3}{5}$ 

Arc cosinus :

$\beta=cos^{-1}(\frac35)=\underline{53,1°}$ 

Exemple

Calcule l’angle $\alpha$ et l’angle $\beta$ grâce à la tangente.

Mathématiques; Trigonométrie; 3e; Sinus, cosinus et tangente

Angle $\alpha$ avec la tangente :

$tan{\left(\alpha\right)}=\frac{Opp}{Adj}=\frac{3}{4}$ 

Arc tangente :

$\alpha=tan^{-1}(\frac34)=\underline{36,9°}$ 

Utilise le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à $180°$ :

$180=90+36,9+\beta$

$\beta=180-90-36,9=\underline{53,1°}$