Représentation d’expériences aléatoires composées

Contexte

Selon la composition des expériences aléatoires, deux types de représentations sont utiles.

Elles permettent d'avoir un aperçu clair des expériences aléatoires et de calculer plus facilement les probabilités recherchées.

Tableau

Appliqué pour

• les expériences aléatoires et à deux étapes.
• les cas d’équiprobabilité (par exemple avec des pièces ou des dés).

Représentation

• Première ligne: événements de la première expérience aléatoire
• Première colonne : événements de la deuxième expérience aléatoire
• Cases : combinaison d’événements en fonction de l’exercice

Probabilités

Les probabilités des cases individuelles sont égales.

• Probabilité d’une case : $$P(une\ case)=\frac{1}{Nombre\ total\ de\ cases}$$
• Probabilité de plusieurs cases : $$P\left(cases\ observ\acute{e}es\right)=\frac{Nombre\ de\ cases\ observ\acute{e}es}{Nombre\ total\ de\ cases}$$​

Exemple

Deux dés ont été lancés. Les nombres de points sont additionnés.

Tableau

Représentation Les valeurs dans les cases indiquent la somme des nombres de points. Il y a $$6\times6=36$$​ cases.  Probabilité La probabilité de chaque case est : $$P=\frac{1}{36}$$​.

Probabilités combinées :

Somme des deux dés égale à $$8$$ : $$P(8)=\frac{5}{36}$$

Somme des deux dés égale à $$4$$ : $$P(4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$

Diagramme en arbre

Appliqué pour 

• toutes les expériences aléatoires composées (par exemple tirer cinq boules d’une urne).
• tous les cas de non équiprobabilité (par exemple un sondage ou une urne avec des boules de couleurs différentes).

Représentation

Éléments de l’arbre

	NŒUD	Résultat possible d’une expérience aléatoire
	BRANCHE	Probabilité d’un résultat (d’un nœud)

Probabilités

Dessiner l’arbre

MÉTHODE

Conseil : S’il y a beaucoup d’étapes et d’événements : Dessine seulement la partie du diagramme en arbre qui est nécessaire pour résoudre l’exercice.

Exemple 

Sac avec cinq boules rayées, trois boules grises et deux boules blanches. Calculer la probabilité de tirer d’abord une boule grise ou blanche, ensuite une boule rayée, sachant qu’on ne remet pas les boules dans le sac après leur tirage.

Dessine le nœud de départ :

​Probabilité à un niveau

• Boule rayée : $$P(rayée)=\frac{5}{10}=\frac12$$​
  
• Boule grise : $$P\left(grise\right)=\frac{3}{10}$$​
  
• Boule blanche : $$P\left(blanche\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$​
  

Première étape :

Deuxième étape :

• Après chaque nœud, une boule grise, blanche ou rayée peut être tirée.
  
• La boule précédemment tirée n’est pas remise dans le sac. Nouvelles probabilités : réduire tous les dénominateurs de 1 (avant simplification de la fraction) et réduire le numérateur de  là où la boule est tirée.
  

Arbre complet avec les probabilités des nœuds d’arrivée :

Il y a deux chemins dont il faut déterminer la probabilité :

• tirer d’abord une boule grise puis une boule rayée
  
• tirer d’abord une boule blanche puis une boule rayée
  

Probabilité de tirer une boule grise puis une boule rayée :

$$\frac{1}{6}$$​​

Probabilité de tirer une boule blanche puis une boule rayée :

$$\frac{1}{9}$$​​

Probabilité de tirer une boule blanche puis une boule rayée ou de tirer une boule grise puis une boule rayée : 

$$\frac{1}{9}\ +\ \frac{1}{6}=\frac{5}{18}$$​​