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Résumés

Vecteurs - Opérations et règles de calcul

Opérations de base

Addition

a→+b→\overrightarrow a+\overrightarrow ba+b​​


Graphiquement on place la fin d’un vecteur au début de l’autre vecteur.

Cas général

Relation de Chasles

Mathématiques; Vecteurs; 2de générale; Vecteurs - Opérations et règles de calcul
Mathématiques; Vecteurs; 2de générale; Vecteurs - Opérations et règles de calcul


Relation de Chasles

Lorsqu’on additionne deux vecteurs dont l’extrémité du premier est l’origine du deuxième, alors le résultat est le vecteur dont l’origine est celle du premier et l’extrémité celle du deuxième.

PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}PQ​+QR​=PR​​


Soustraction

a→−b→=a→+(−b)→\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow{(-b)}a−b=a+(−b)​​​

On additionne le vecteur opposé de b→\overrightarrow bb​.

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Multiplication par un scalaire

Un scalaire kkk​ est un nombre réel.

ka→k\overrightarrow aka​​

Sens :

  • Si kkk​ est positif, le sens de a→\overrightarrow aa​ ne change pas.
  • Si kkk​ est négatif le sens de a→\overrightarrow aa​ est inversé.

Direction :

  • La direction d’un vecteur n’est jamais modifiée par une multiplication par un scalaire.

Longueur :

  • Si ∣k∣<1\left|k\right|<1∣k∣<1​ : a→\overrightarrow aa​ est raccourci.
  • Si ∣k∣>1\left|k\right|>1∣k∣>1​ : a→\overrightarrow aa​ est allongé.
  • Si ∣k∣=1\left|k\right|=1∣k∣=1​ : la longueur de  ne change pas.
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Propriété

Commutativité de l’addition
​a→+b→=b→+a→\overrightarrow a + \overrightarrow b=\overrightarrow b +\overrightarrow aa+b=b+a​​

L’ordre des vecteurs additionnés n’a pas d’importance.

Associativité de l’addition
​(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)(\overrightarrow a+\overrightarrow b)+\overrightarrow c=\overrightarrow a+(\overrightarrow b+\overrightarrow c)(a+b)+c=a+(b+c)​​

L’ordre de l’addition n’a pas d’importance.

Elément neutre de l’addition
​a→+0→=a→\overrightarrow a+\overrightarrow 0=\overrightarrow aa+0=a​​

L’addition du vecteur nul 0→\overrightarrow 00​ ne change rien.

Elément inverse de l’addition
​a→+(−a)→=0→\overrightarrow a+\overrightarrow {(-a)}=\overrightarrow 0a+(−a)​=0​​

L’addition d’un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul.

Associativité de la multiplication scalaire
​(rs)a→=r(sa→)(rs)\overrightarrow a=r(s\overrightarrow a)(rs)a=r(sa)​​

L’ordre de la multiplication des scalaires n’a pas d’importance.

Distributivité
​k(a→+b→)=ka→+kb→(r+s)a→=ra→+sa→k(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=k\overrightarrow a+k\overrightarrow b\\(r+s)\overrightarrow a=r\overrightarrow a+s\overrightarrow ak(a+b)=ka+kb(r+s)a=ra+sa​​

La multiplication scalaire se distribue comme écrit.

Norme
​∥ka→∥=∣k∣×∥a→∥\lVert k\overrightarrow a\rVert=\lvert k\rvert\times\lVert\overrightarrow a\rVert∥ka∥=∣k∣×∥a∥​​

Une norme peut être séparée comme écrit.




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Durée:
Vecteurs : translation et rapports entre vecteurs

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Vecteurs : translation et rapports entre vecteurs

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment multiplier un vecteur ?

En utilisant un scalaire K. Si K est négatif, le vecteur change de sens. S'il est supérieur à 1, le vecteur est allongé. S'il est inférieur à 1, le vecteur est plus court.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

Lorsqu’on additionne deux vecteurs dont l’extrémité du premier est l’origine du deuxième, alors le résultat est le vecteur dont l’origine est celle du premier et l’extrémité celle du deuxième.

Comment additionner deux vecteurs ?

On place la fin d’un vecteur au début de l’autre vecteur.

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