Expressions rationnelles : simplification somme et fraction

Simplifier une somme d’expressions rationnelles 

Méthode 

Exemple 

​$$\frac{x+6}{x^2+5x-14}+\frac{2-x}{x^2-4x+4}$$​​

Factorise : 

​$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{2-x}{(x-2)(x-2)}=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-2)}$$​​

Réduis : 

​$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-1}{(x-2)}$$​​

Réduis les fractions au même dénominateur : 

​$$=\frac{x+6}{(x+7)(x-2)}+\frac{-(x+7)}{(x-2)(x+7)}$$​​

Additionne en regroupant en une fraction : 

​$$=\frac{x+6-x-7}{(x+7)(x-2)}$$​​

Simplifie les termes : 

​$$=\underline{\frac{-1}{(x+7)(x-2)}}$$​​

Simplifier une fraction d’expression rationnelles 

Fractions emboîtées 

On parle de fractions emboîtées lorsque le numérateur ou le dénominateur d’une fraction est également une fraction. 

Méthode 

Exemple 

​$$\frac{\frac{x^2+14x+49}{10}}{\frac{x^2-49}{35-5x}}$$​​

Multiplication par la fraction inverse : 

​$$=\frac{x^2+14x+49}{10}\times\frac{35-5}{x^2-49}$$​​

Factorise les termes : 

​$$=\frac{(x+7)(x+7)}{10}\times\frac{5\overbrace{(7-x)}^{-(x-7)}}{(x+7)(x-7)}$$​​

Réduis et multiplie : 

​$$=\frac{(x+7)(x+7)}{10}\times\frac{5\times(-1)}{(x+7)}\\=\frac{-5(x+7)(x+7)}{10(x+7)}\\=\underline{-\frac{(x+7)}{2}}$$​​