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Inéquations : signes de relation et résolution

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Résumé

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Inéquations : signes de relation et résolution

Définition 

Une inéquation met en relation deux expressions algébriques. Un des termes est supérieur (supérieur ou égal) ou inférieur (inférieur ou égal) à l’autre terme. 


Exemples

9<3x2≥x+19<3x \\2\ge x+1​ 


Signes de relation 

​<<​​
Gauche inférieure à la droite
​>>​​
Gauche supérieure à la droite
​≤\le​​
Gauche inférieure ou égale à la droite
​≥\ge​​
Gauche supérieure ou égale à la droite



Résoudre une inéquation du premier degré 

Déterminer toutes les valeurs possibles 

On cherche toutes les valeurs de la variable qui satisfont l’inéquation. Ces valeurs forment généralement un ensemble de nombres : l’ensemble de solution. 


Méthode 

1.
Remplace le signe de l’inéquation par un signe d’égalité.
2.
Résous l’équation comme d’habitude.
3.
Détermine l’ensemble de solution : 
Évalue les termes de l’inéquation pour un nombre inférieur au résultat trouvé. 
  • Inégalité correcte : Le résultat est la borne supérieure de l’ensemble de solution. 
  • Inégalité pas correcte : Le résultat est la borne inférieure de l’ensemble de solution. 
Choisis le signe de l’inégalité en conséquence : 
​{x∈R ∣ x∼reˊsultat}\{x \in \R \,|\, x \sim résultat\} ​​
avec ∼\sim​ un des signes <,≤,>,≥<,\le,>,\ge​. 
L’ensemble de solution peut aussi être exprimé sous forme d’intervalles.
Si la borne n’est pas comprise dans l’ensemble des solutions, on met un crochet ouvert. 
     Exemple : ]2,+∞[ ]2,+\infty[
Si la borne est comprise dans l’ensemble des solutions, on met un crochet fermé. 
     Exemple : [2,+∞[[2,+\infty[ ​​
Conseil : Les crochets à côté de −∞-\infty​ et +∞+\infty​ sont toujours ouverts.
4.
Note : Représente l’ensemble de solution sur une droite. 
Marque la borne supérieure ou inférieure : 
     Pour <<​ et >>​ : cercle vide (La borne n’est pas une solution.)
     Pour ≤\le​ et ≥\ge​ : cercle plein (La borne est une solution.) 
Dessine une ligne sur l’ensemble de nombres autorisé :
Mathématiques; Inéquations; 2de générale; Inéquations : signes de relation et résolution



Exemple 


​9x+2<7x+69x+2<7x+6 ​​


Remplace le signe de l’inéquation : 


​9x+2=7x+69x+2=7x+6 ​​


Résous l’équation : 


​2x=4x=2‾2x=4 \\\underline{x=2} ​​


Évalue en x=0x=0 : 


​9×0+2<7×0+62<69\times0+2<7\times0+6 \\2<6 ​​


Inéquation est correcte. 


Le résultat est la borne supérieure de l’ensemble de solution : {x∈R ∣ x<2}\{x \in\R\, |\, x <2\}​.
Et l’ensemble de solution écrit sous forme d’intervalles : ]−∞,2[]-\infty,2[ ​​


Dessine un cercle en x=2x=2​ et une ligne pour l’ensemble de nombres inférieurs à x=2x=2 :


Mathématiques; Inéquations; 2de générale; Inéquations : signes de relation et résolution
Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Que signifient les signes d'une inéquation ?

    Réponse : < Gauche inférieure à la droite > Gauche supérieure à la droite ≤ Gauche inférieure ou égale à la droite ≥ Gauche supérieure ou égale à la droite

  • Question : Comment résoudre une inéquation du premier degré ?

    Réponse : Remplace le signe de l’inéquation par un signe d'égalité et résous l'équation comme d’habitude. Ensuite, détermine l’ensemble de solution, soit évalue les termes de l’inéquation pour un nombre inférieur au résultat trouvé. Si l'inégalité est correcte, alors le résultat est la borne supérieure de l'ensemble de solution. Si l'inégalité n'est pas correcte alors le résultat est la borne inférieure de l'ensemble de solution. Pour finir, choisis le signe de l'inégalité en conséquence : {x ∈R | x ~ re ́sultat} avec ~ un des signes <,≤,>,≥.

  • Question : Qu'est ce qu'une inéquation ?

    Réponse : Une inéquation met en relation deux expressions algébriques. Un des termes est supérieur (supérieur ou égal) ou inférieur (inférieur ou égal) à l’autre terme.

Théorie

Exercices

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