Inéquations : signes de relation et résolution

Définition 

Une inéquation met en relation deux expressions algébriques. Un des termes est supérieur (supérieur ou égal) ou inférieur (inférieur ou égal) à l’autre terme. 

Exemples

$$9<3x \\2\ge x+1$$​ 

Signes de relation 

Résoudre une inéquation du premier degré 

Déterminer toutes les valeurs possibles 

On cherche toutes les valeurs de la variable qui satisfont l’inéquation. Ces valeurs forment généralement un ensemble de nombres : l’ensemble de solution. 

Méthode 

1.	Remplace le signe de l’inéquation par un signe d’égalité.
2.	Résous l’équation comme d’habitude.
3.	Détermine l’ensemble de solution :  Évalue les termes de l’inéquation pour un nombre inférieur au résultat trouvé.  Inégalité correcte : Le résultat est la borne supérieure de l’ensemble de solution.  Inégalité pas correcte : Le résultat est la borne inférieure de l’ensemble de solution.  Choisis le signe de l’inégalité en conséquence :  ​$$\{x \in \R \,|\, x \sim résultat\}$$​​ avec $$\sim$$​ un des signes $$<,\le,>,\ge$$​.  L’ensemble de solution peut aussi être exprimé sous forme d’intervalles. Si la borne n’est pas comprise dans l’ensemble des solutions, on met un crochet ouvert.       Exemple : $$]2,+\infty[$$ Si la borne est comprise dans l’ensemble des solutions, on met un crochet fermé.       Exemple : $$[2,+\infty[$$​​ Conseil : Les crochets à côté de $$-\infty$$​ et $$+\infty$$​ sont toujours ouverts.
4.	Note : Représente l’ensemble de solution sur une droite.  Marque la borne supérieure ou inférieure :       Pour $$<$$​ et $$>$$​ : cercle vide (La borne n’est pas une solution.)      Pour $$\le$$​ et $$\ge$$​ : cercle plein (La borne est une solution.)  Dessine une ligne sur l’ensemble de nombres autorisé :

Exemple 

​$$9x+2<7x+6$$​​

Remplace le signe de l’inéquation : 

​$$9x+2=7x+6$$​​

Résous l’équation : 

​$$2x=4 \\\underline{x=2}$$​​

Évalue en $$x=0$$ : 

​$$9\times0+2<7\times0+6 \\2<6$$​​

Inéquation est correcte. 

Le résultat est la borne supérieure de l’ensemble de solution : $$\{x \in\R\, |\, x <2\}$$​.
Et l’ensemble de solution écrit sous forme d’intervalles : $$]-\infty,2[$$​​

Dessine un cercle en $$x=2$$​ et une ligne pour l’ensemble de nombres inférieurs à $$x=2$$ :