Relations trigonométriques Règles Les règles suivantes s’appliquent aux fonctions trigonométriques et sont souvent utilisées dans des exercices.
s i n ( x ) 2 + c o s ( x ) 2 = 1 {sin(x)}^2+{cos(x)}^2=1 s in ( x ) 2 + cos ( x ) 2 = 1 t a n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) tan(x)=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}} t an ( x ) = cos ( x ) s in ( x ) Note : « Sinus de x au carré » peut s’écrire de deux manières s i n ( x ) 2 {sin(x)}^2 s in ( x ) 2 ou s i n 2 ( x ) {sin}^2(x) s in 2 ( x ) . Dans les deux cas, l’expression est égale à s i n ( x ) × s i n ( x ) sin(x)\times sin(x) s in ( x ) × s in ( x ) . Et c’est pareil pour le cosinus et la tangente.
Décalage de l’angle s i n ( x ) = c o s 90 ° − x sin{\left(x\right)}=cos90°-x s in ( x ) = cos 90° − x c o s ( x ) = s i n 90 ° − x cos{\left(x\right)}=sin90°-x cos ( x ) = s in 90° − x t a n 90 ° − x = 1 t a n x tan90°-x=1tanx t an 90° − x = 1 t an x
Simplifier des termes / démonstrations On utilise les formules suivantes pour simplifier des expressions contenant des fonctions trigonométriques.
Le but est de rendre la formule aussi courte et simple que possible pour qu’elle soit facilement lisible.
Méthode
Exemples 1.
Résous les décalages d’angles (90 ° − x 90°- x 90° − x ).
t a n ( 90 ° − x ) × c o s ( x ) = 1 t a n ( x ) × c o s ( x ) tan(90°-x)×cos(x)=1tan(x)×cos(x) t an ( 90° − x ) × cos ( x ) = 1 t an ( x ) × cos ( x )
2.
Remplace la tangente par s i n ( x ) c o s ( x ) \frac{sin\left(x\right)}{cos(x)} cos ( x ) s in ( x ) .
t a n ( x ) × s i n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) × s i n ( x ) tan{\left(x\right)}\times s i n{\left(x\right)}=\frac{sin\left(x\right)}{cos(x)}\times sin(x) t an ( x ) × s in ( x ) = cos ( x ) s in ( x ) × s in ( x )
3.
Simplifie les carrés de sinus et cosinus.
s i n ( x ) 3 + s i n ( x ) × c o s ( x ) 2 = s i n ( x ) × ( s i n ( x ) 2 + c o s ( x ) 2 ) = s i n ( x ) × 1 = s i n ( x ) sin\left(x\right)^3+sin\left(x\right)\times cos\left(x\right)^2\\=sin\left(x\right)\times\left(sin\left(x\right)^2+cos\left(x\right)^2\right)\\=sin\left(x\right)\times1=sin\left(x\right) s in ( x ) 3 + s in ( x ) × cos ( x ) 2 = s in ( x ) × ( s in ( x ) 2 + cos ( x ) 2 ) = s in ( x ) × 1 = s in ( x )
Exemple L’équation suivante est-elle correcte ?
t a n ( 90 ° − x ) 2 + 1 = 1 s i n ( x ) 2 tan(90°-x)^2+1=\frac{1}{sin(x^)2} t an ( 90° − x ) 2 + 1 = s in ( x ) 2 1
Simplifie la partie gauche de l’équation :
Résous le décalage d’angle (t a n ( 90 ° − x ) = 1 t a n ( x ) 2 ) tan(90°-x)=\frac{1}{tan(x)^2}) t an ( 90° − x ) = t an ( x ) 2 1 )
1 t a n ( x ) 2 + 1 \frac{1}{{tan(x)}^2}+1 t an ( x ) 2 1 + 1
Remplace la tangente (t a n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) ) tan(x)=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}) t an ( x ) = cos ( x ) s in ( x ) )
= 1 ( s i n ( x ) c o s ( x ) ) 2 + 1 =\frac{1}{\left(\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}\right)^2}+1 = ( cos ( x ) s in ( x ) ) 2 1 + 1
= c o s ( x ) 2 s i n ( x ) 2 + 1 =\frac{{cos(x)}^2}{{sin(x)}^2}+1 = s in ( x ) 2 cos ( x ) 2 + 1
Simplifie les fractions :
= c o s ( x ) 2 s i n ( x ) 2 + s i n ( x ) 2 s i n ( x ) 2 =\frac{{cos(x)}^2}{{sin(x)}^2}+\frac{{sin(x)}^2}{{sin(x)}^2} = s in ( x ) 2 cos ( x ) 2 + s in ( x ) 2 s in ( x ) 2
= c o s ( x ) 2 + s i n ( x ) 2 s i n ( x ) 2 =\frac{{cos(x)}^2+{sin(x)}^2}{{sin(x)}^2} = s in ( x ) 2 cos ( x ) 2 + s in ( x ) 2
Remplace s i n ( x ) 2 + c o s ( x ) 2 {sin(x)}^2+{cos(x)}^2 s in ( x ) 2 + cos ( x ) 2 avec 1 :
= 1 s i n ( x ) 2 ‾ =\underline{\frac{1}{{sin(x)}^2}} = s in ( x ) 2 1
L’équation est correcte :
t a n ( 90 ° − x ) 2 + 1 = 1 s i n ( x ) 2 tan(90°-x)^2+1=\frac{1}{sin(x)^2} t an ( 90° − x ) 2 + 1 = s in ( x ) 2 1
