Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés
Identités remarquables du deuxième degré
Binômes
Les identités remarquables du second degré servent de raccourci lors de la multiplication de deux parenthèses contenant des binômes. Inversement, on s’en sert aussi pour factoriser des expressions.
Note 1 : Binôme signifie composé de 2 termes. Second degré signifie élevé à la puissance 2.
Les parenthèses sont formées à partir de deux mêmes termes a et b :
(a+b)2
ou
(a−b)2
ou
(a+b)(a−b)
Formule
Exemple
1ère Identité remarquable
(a+b)2=a2+2ab+b2
(x+5)2=x2+10x+25
2ème Identité remarquable
(a−b)2=a2−2ab+b2
(x−7)2=x2−14x+49
3ème Identité remarquable
(a−b)(a+b)=a2−b2
(4−x)(4+x)=16−x2
Identités remarquables du troisième degré
On peut utiliser les formules suivantes pour les cubes de binômes :
Formule
Exemple
Identités remarquables Du Troisième Degré
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
(x+2)3=x3+6x2+12x+8(x−1)3=x3−3x2+3x−1
Factorisation
La factorisation peut être vue comme l’inverse du développement. On peut donc utiliser les formules vues ci-dessus dans le sens inverse. L’idée est de transformer une somme en un produit de parenthèses.
Méthode
1.
Repère les termes qui sont des carrés et prends leur racine pour déterminer les valeurs de a et b.
2.
Si tu trouves deux carrés et que l’un des deux est négatif (a2−b2), utilise la troisième identité remarquable. Si les deux carrés sont positifs (a2+b2), cherche un terme de la forme 2ab. Utilise la première identité si ce terme est positif et la deuxième s’il est négatif.
Note 2 : Si les deux carrés sont négatifs, tu peux mettre (−1) en facteur et changer tous les signes.
Exemple
Factorise l’expression suivante : 9x2+4−12x
Cherche les carrés : 9x2=(3x)2 et 4=22
On a : a=3x et b=2. Cherche un terme de la forme2ab : 2ab=2×3x×2=12x.
Ce terme est négatif dans notre expression → Deuxième identité remarquable :
