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Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

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Enseignant: Claire

Résumés

Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Identités remarquables du deuxième degré 

Binômes 

Les identités remarquables du second degré servent de raccourci lors de la multiplication de deux parenthèses contenant des binômes. Inversement, on s’en sert aussi pour factoriser des expressions. 


Note 1 : Binôme signifie composé de 2 termes. Second degré signifie élevé à la puissance 2. 


Les parenthèses sont formées à partir de deux mêmes termes aaa​ et bbb​ : 

​(a+b)2(a+b)^2(a+b)2​​
ou
​(a−b)2 (a-b)^2(a−b)2​​
ou
​(a+b)(a−b)(a+b)(a-b) (a+b)(a−b)​​



Formule
Exemple

1ère Identité remarquable

​(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)2=a2+2ab+b2​​
​(x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2=x^2+10x+25 (x+5)2=x2+10x+25​​

2ème Identité remarquable

​(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2​​
​(x−7)2=x2−14x+49 (x-7)^2=x^2-14x+49 (x−7)2=x2−14x+49​​

3ème Identité remarquable

​(a−b)(a+b)=a2−b2 (a-b)(a+b)=a^2-b^2(a−b)(a+b)=a2−b2​​
​(4−x)(4+x)=16−x2(4-x)(4+x)=16-x^2 (4−x)(4+x)=16−x2​​



Identités remarquables du troisième degré 

On peut utiliser les formules suivantes pour les cubes de binômes : 



Formule
Exemple

Identités remarquables
Du Troisième Degré

​(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3​(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\\(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3​(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3​​​
​(x+2)3=x3+6x2+12x+8(x−1)3=x3−3x2+3x−1(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\\(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1 (x+2)3=x3+6x2+12x+8(x−1)3=x3−3x2+3x−1​​



Factorisation 

La factorisation peut être vue comme l’inverse du développement. On peut donc utiliser les formules vues ci-dessus dans le sens inverse. L’idée est de transformer une somme en un produit de parenthèses. 


Méthode

1.
Repère les termes qui sont des carrés et prends leur racine pour déterminer les valeurs de aaa​ et bbb​.
2.
Si tu trouves deux carrés et que l’un des deux est négatif (a2−b2)(a^2-b^2)(a2−b2)​, utilise la troisième identité remarquable.
Si les deux carrés sont positifs (a2+b2)(a^2+b^2)(a2+b2)​, cherche un terme de la forme 2ab2ab2ab​. Utilise la première identité si ce terme est positif et la deuxième s’il est négatif.


Note 2 : Si les deux carrés sont négatifs, tu peux mettre (−1)(-1)(−1)​ en facteur et changer tous les signes. 


Exemple 

Factorise l’expression suivante : 9x2+4−12x9x^2+4-12x 9x2+4−12x​​

Cherche les carrés : 9x2=(3x)2 et 4=229x^2=(3x)^2 \text{ et } 4=2^2 9x2=(3x)2 et 4=22

On a : a=3x et b=2 a=3x \text{ et } b=2a=3x et b=2​.
Cherche un terme de la forme  2ab2ab2ab​ : 2ab=2×3x×2=12x2ab=2\times3x\times2=12x2ab=2×3x×2=12x​. 

Ce terme est négatif dans notre expression →\rarr→​ Deuxième identité remarquable : 

​9x2+4−12x=(3x−2)2‾9x^2+4-12x=\underline{(3x-2)^2} 9x2+4−12x=(3x−2)2​​​


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Durée:
Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Unité 1

Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment faire une factorisation ?

Repère les termes qui sont des carrés et prends leur racine pour déterminer les valeurs de a et b et utiliser les identités remarquables.

Quelles sont les deux identités remarquables du troisième degré ?

1. (a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 2. (a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3

Quelles sont les trois identités remarquables ?

1. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 2. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 3. (a-b)(a+b)=a^2-b^2

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