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Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

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Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Définition

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs :

Nombres multipliés
Variables
Parenthèses

Exemple

$\underbrace{\underbrace{3}\times\underbrace{x}\underbrace{(3x+2)}\times\underbrace{(x-1)}\times\underbrace{(1+x)}}_{Facteurs}$

Méthode pour la factorisation

Vérifie dans l’ordre si on peut transformer l’expression donnée avec les étapes suivantes :

Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses.
Applique les identités remarquables.
Applique l’approche à deux termes.

Mise en évidence

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser.

Note : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division.

Exemple

$9x^2+6x$

Commun : diviseur $3$  et variable $x$

Mettre en évidence $3$  et $x$  :

$=\underline{3x\times(3x+2)}$

Identités remarquables

Condition

Le terme donné a la forme développée d’une identité remarquable :

$1^{\text{ère }} \text{ IR }∶ a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2$
$2^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2$
$3^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

Méthode

1.	Trouve l’identité remarquable qui convient.
2.	Détermine $a$ et $b$ .
3.	Écris la forme factorisée (avec parenthèses) de l’identité avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+10x+25$

Forme de la première identité remarquable
Valeurs :

$a=x \\b=5$

Forme factorisée :

$=\underline{(x+5)^2}$

Approche à deux termes

Condition

L’expression donnée a trois termes :

$x^2+(a+b)x+ab$

On peut trouver deux nombres :

Qui donnent le coefficient de $x$ quand on les additionne.
Qui donnent le terme sans $x$ quand on les multiplie.

Note : Si le terme sans $x$ est négatif, $a$ ou $b$ est négatif.

Méthode

1.	Détermine $a$ et $b$ .
2.	Écris la forme factorisée $(x+a)(x+b)$ avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+6x+8$

Paire de nombre correspondante :

$a=2 \\b=4$

Forme factorisée :

$=\underline{(x+2)(x+4)}$

Simplifier une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont sous une forme factorisée, on peut la simplifier en enlevant les facteurs se trouvant à la fois en haut et en bas de la barre de fraction.

Méthode

1.	Factorise le numérateur et le dénominateur.
2.	Cherche les facteurs se trouvant à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur.
3.	Simplifie la fonction en enlevant les facteurs trouvés à l’étape 2.

Exemple

Simplifie la fraction suivante :

$\frac{x^2+6x+8}{2x^2+8x+8}$

Factorise le numérateur et le dénominateur :

$\frac{(x+2)(x+4)}{2(x+2)^2}$

Facteur en commun : $(x+2)$

Simplification :

$\frac{(x+4)}{2(x+2)}=\underline{\frac{x+4}{2x+4} }$

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Factorisation : distributivité simple

Test Avancé

Optionnel

Unité 2

Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment faire une mise en évidence ?

Il faut trouver un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d'une partie de l'expression) à factoriser.

Comment simplifier une fraction ?

Factorise le numérateur et le dénominateur. Cherche les facteurs se trouvant à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur. Simplifie la fonction en enlevant les facteurs trouvés à l'étape 2.

Quelle méthode utiliser pour la factorisation ?

Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses, applique les identités remarquables ou/et applique l’approche à deux termes.

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Puissances : définition, propriétés et règles de calcul

Pourcentage

Pourcentage, variation absolue et relative

Fractions

Conversion de fractions : décimaux et pourcentages

Addition et soustraction de fractions

Multiplication et division de fractions

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Définition

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs :

Nombres multipliés
Variables
Parenthèses

Exemple

$\underbrace{\underbrace{3}\times\underbrace{x}\underbrace{(3x+2)}\times\underbrace{(x-1)}\times\underbrace{(1+x)}}_{Facteurs}$

Méthode pour la factorisation

Vérifie dans l’ordre si on peut transformer l’expression donnée avec les étapes suivantes :

Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses.
Applique les identités remarquables.
Applique l’approche à deux termes.

Mise en évidence

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser.

Note : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division.

Exemple

$9x^2+6x$

Commun : diviseur $3$  et variable $x$

Mettre en évidence $3$  et $x$  :

$=\underline{3x\times(3x+2)}$

Identités remarquables

Condition

Le terme donné a la forme développée d’une identité remarquable :

$1^{\text{ère }} \text{ IR }∶ a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2$
$2^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2$
$3^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

Méthode

1.	Trouve l’identité remarquable qui convient.
2.	Détermine $a$ et $b$ .
3.	Écris la forme factorisée (avec parenthèses) de l’identité avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+10x+25$

Forme de la première identité remarquable
Valeurs :

$a=x \\b=5$

Forme factorisée :

$=\underline{(x+5)^2}$

Approche à deux termes

Condition

L’expression donnée a trois termes :

$x^2+(a+b)x+ab$

On peut trouver deux nombres :

Qui donnent le coefficient de $x$ quand on les additionne.
Qui donnent le terme sans $x$ quand on les multiplie.

Note : Si le terme sans $x$ est négatif, $a$ ou $b$ est négatif.

Méthode

1.	Détermine $a$ et $b$ .
2.	Écris la forme factorisée $(x+a)(x+b)$ avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+6x+8$

Paire de nombre correspondante :

$a=2 \\b=4$

Forme factorisée :

$=\underline{(x+2)(x+4)}$

Simplifier une fraction

Méthode

1.	Factorise le numérateur et le dénominateur.
2.	Cherche les facteurs se trouvant à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur.
3.	Simplifie la fonction en enlevant les facteurs trouvés à l’étape 2.

Exemple

Simplifie la fraction suivante :

$\frac{x^2+6x+8}{2x^2+8x+8}$

Factorise le numérateur et le dénominateur :

$\frac{(x+2)(x+4)}{2(x+2)^2}$

Facteur en commun : $(x+2)$

Simplification :

$\frac{(x+4)}{2(x+2)}=\underline{\frac{x+4}{2x+4} }$

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Factorisation : distributivité simple

Test Avancé

Optionnel

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment faire une mise en évidence ?

Il faut trouver un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d'une partie de l'expression) à factoriser.

Comment simplifier une fraction ?

Quelle méthode utiliser pour la factorisation ?

Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses, applique les identités remarquables ou/et applique l’approche à deux termes.