Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Définition 

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs : 

• Nombres multipliés 
• Variables 
• Parenthèses 

Exemple 

​$$\underbrace{\underbrace{3}\times\underbrace{x}\underbrace{(3x+2)}\times\underbrace{(x-1)}\times\underbrace{(1+x)}}_{Facteurs}$$​​

Méthode pour la factorisation 

Vérifie dans l’ordre si on peut transformer l’expression donnée avec les étapes suivantes : 

1. Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses. 
2. Applique les identités remarquables. 
3. Applique l’approche à deux termes. 

Mise en évidence 

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser. 

Note : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division. 

Exemple 

​$$9x^2+6x$$​​

Commun : diviseur $$3$$​ et variable $$x$$​ 

Mettre en évidence $$3$$​ et $$x$$​ : 

​$$=\underline{3x\times(3x+2)}$$​​

Identités remarquables 

Condition 

Le terme donné a la forme développée d’une identité remarquable : 

• ​$$1^{\text{ère }} \text{ IR }∶ a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2$$​​
  
• ​$$2^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2$$​​
• ​$$3^{\text{ème }} \text{ IR }∶ a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$$​​

Méthode 

Exemple 

​$$x^2+10x+25$$​​

Forme de la première identité remarquable
Valeurs : 

$$a=x \\b=5$$​​

Forme factorisée : 

​$$=\underline{(x+5)^2}$$​​

Approche à deux termes 

Condition 

L’expression donnée a trois termes : 

​$$x^2+(a+b)x+ab$$​​

On peut trouver deux nombres : 

• Qui donnent le coefficient de $$x$$​ quand on les additionne. 
• Qui donnent le terme sans $$x$$​ quand on les multiplie. 

Note : Si le terme sans $$x$$​ est négatif, $$a$$​ ou $$b$$​ est négatif. 

Méthode 

Exemple 

​$$x^2+6x+8$$​​

Paire de nombre correspondante : 

$$a=2 \\b=4$$​​

Forme factorisée : 

​$$=\underline{(x+2)(x+4)}$$​​

Simplifier une fraction 

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont sous une forme factorisée, on peut la simplifier en enlevant les facteurs se trouvant à la fois en haut et en bas de la barre de fraction. 

Méthode 

Exemple 

Simplifie la fraction suivante : 

$$\frac{x^2+6x+8}{2x^2+8x+8}$$​​

Factorise le numérateur et le dénominateur : 

$$\frac{(x+2)(x+4)}{2(x+2)^2}$$​​

Facteur en commun : $$(x+2)$$​​

Simplification : 

​$$\frac{(x+4)}{2(x+2)}=\underline{\frac{x+4}{2x+4} }$$​​