Fonctions : domaine de définition Ensemble de définition D f Df D f Définition L’ensemble de définition spécifie l’ensemble de valeurs que peut prendre la variable x x x d’une fonction f ( x ) f(x) f ( x ) .
Notations
Exemples Ensemble des nombres réels
D f = R D_f=\mathbb{R} D f = R
Tous les nombres réels
Ensemble des nombres réels sans nombres individuels
D f = R D_f=\mathbb{R} D f = R \{3 3 3 }
D f = R D_f=\mathbb{R} D f = R \{0.3 0.3 0.3 }
Sans 3 3 3
Sans 0 0 0 et 3 3 3
Ensemble des nombres réels supérieurs/inférieurs à un nombre
D f = D_f={} D f = {x ∈ R ∣ x > 3 x∈\mathbb{R}|x>3 x ∈ R ∣ x > 3 }
D f = D_f= D f = {x ∈ R ∣ x ≤ 3 x∈\mathbb{R}|x≤3 x ∈ R ∣ x ≤ 3 }
D f = D_f= D f = {x ∈ R ∣ 0 < x < 3 x∈\mathbb{R}|0<x<3 x ∈ R ∣0 < x < 3 }
Supérieur à 3 3 3
Inférieur ou égal à 3 3 3
Supérieur à 0 0 0 et inférieur à 3 3 3
Fonctions à l’ensemble de définition restreint Exemples de fonctions dont l’ensemble de définition doit être limité :
Fraction avec x x x au dénominateur
Le numérateur ne doit pas être divisé par zéro :
Dénominateur ≠ 0 0 0
Exemple
Fonction :
Ensemble de définition :
f ( x ) = 2 x 2 x − 1 f(x)=\frac{2x^2}{x-1} f ( x ) = x − 1 2 x 2
D f = R D_f=\mathbb{R} D f = R \{
1 1 1 }
Racine qui contient x x x
Le terme sous la racine ne doit pas être négatif :
Contenu de la racine ≥ 0 ≥0 ≥ 0
Exemple
Fonction :
Ensemble de définition :
f ( x ) = √ ( x − 1 ) f(x)=√(x-1) f ( x ) = √ ( x − 1 )
D f = D_f= D f = {
x ∈ R ∣ x ≥ 1 x∈\mathbb{R}|x≥1 x ∈ R ∣ x ≥ 1 }
Note : La tangente et le logarithme, qui seront vus plus tard, sont aussi des fonctions dont les ensembles de définition sont restreint.
Déterminer l’ensemble de définition Méthode 1. Vérifie les fonctions :
Fraction avec x x x
dans le dénominateur
Détermine pour quelles valeurs de x x x
le dénominateur n’est pas égal à
0 0 0 .
Racine avec x x x
Résous l'inégalité en x x x
: Contenu de la racine ≥ 0 ≥0 ≥ 0
Plusieurs restrictions peuvent apparaître. Ces restrictions sont unies dans l’ensemble de définition.
Si aucune restriction n'est donnée, l’ensemble de définition n'est pas contraint.
2. Note l’ensemble de définition.
Exemple Trouve l’ensemble de définition de la fonction suivante :
f ( x ) = √ 3 x − 4 f(x)=√\frac{3}{x-4} f ( x ) = √ x − 4 3
Détermine pour quelles valeurs de le dénominateur n’est pas égal à :
x − 4 ≠ 0 x ≠ 4 x-4≠0 \newline x≠4 x − 4 = 0 x = 4
Détermine pour quelles valeurs de x le contenu de la racine est positif :
3 x − 4 ≥ 0 x − 4 ≥ 0 x ≥ 4 \frac{3}{x-4}≥0\newline x-4≥0\newline x≥4 x − 4 3 ≥ 0 x − 4 ≥ 0 x ≥ 4
Ensemble de définition :
D f = R D_f=\mathbb{R} D f = R \{4 4 4 }∩ ∩ ∩ {x ∈ R │ x ≥ 4 {x∈\mathbb{R}│x≥4} x ∈ R │ x ≥ 4 }={x ∈ R ∣ x > 4 x∈\mathbb{R}|x>4 x ∈ R ∣ x > 4 }