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Fonctions : domaine de définition

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Enseignant: Lomàn

Résumés

Fonctions : domaine de définition

Ensemble de définition DfDf​​

Définition

L’ensemble de définition spécifie l’ensemble de valeurs que peut prendre la variable xx​ d’une fonction f(x) f(x)​.


Notations



Exemples

Ensemble des nombres réels

 Df=RD_f=\mathbb{R}

Tous les nombres réels

Ensemble des nombres réels sans nombres individuels

 Df=RD_f=\mathbb{R}\{33​}

 Df=RD_f=\mathbb{R}\{0.30.3​} 

Sans 33

Sans 00​ et 33

Ensemble des nombres réels supérieurs/inférieurs à un nombre

 Df=D_f={}{xRx>3x∈\mathbb{R}|x>3​}

 Df=D_f= {xRx3x∈\mathbb{R}|x≤3​}

Df=D_f= {xR0<x<3x∈\mathbb{R}|0<x<3​}​

Supérieur à 33

Inférieur ou égal à 33

Supérieur à 00​ et inférieur à 33


Fonctions à l’ensemble de définition restreint 

Exemples de fonctions dont l’ensemble de définition doit être limité : 


Fraction avec xx​ au dénominateur 

Le numérateur ne doit pas être divisé par zéro : 


Dénominateur ≠ 00​ 


Exemple 


Fonction :
Ensemble de définition :
f(x)=2x2x1f(x)=\frac{2x^2}{x-1}​​
Df=RD_f=\mathbb{R}\{11​}​


Racine qui contient xx​ 

Le terme sous la racine ne doit pas être négatif : 


Contenu de la racine 0≥0


Exemple 


Fonction :
Ensemble de définition :
f(x)=(x1)f(x)=√(x-1)​​
Df=D_f= {xRx1x∈\mathbb{R}|x≥1​}​


Note : La tangente et le logarithme, qui seront vus plus tard, sont aussi des fonctions dont les ensembles de définition sont restreint.


Déterminer l’ensemble de définition

Méthode

1. Vérifie les fonctions :


Fraction avec xx  dans le dénominateur

Détermine pour quelles valeurs de xx  le dénominateur n’est pas égal à 00.

Racine avec xx

Résous l'inégalité en xx​  : Contenu de la racine 0≥0

​Plusieurs restrictions peuvent apparaître. Ces restrictions sont unies dans l’ensemble de définition.

Si aucune restriction n'est donnée, l’ensemble de définition n'est pas contraint.


2. Note l’ensemble de définition.


Exemple 

Trouve l’ensemble de définition de la fonction suivante :

f(x)=3x4f(x)=√\frac{3}{x-4}

Détermine pour quelles valeurs de le dénominateur n’est pas égal à :

x40x4x-4≠0 \newline x≠4

Détermine pour quelles valeurs de x le contenu de la racine est positif :

3x40x40x4\frac{3}{x-4}≥0\newline x-4≥0\newline x≥4

Ensemble de définition :

Df=RD_f=\mathbb{R}\{44​}{xRx4{x∈\mathbb{R}│x≥4}​}={xRx>4x∈\mathbb{R}|x>4​}​



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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle notation utiliser pour l'ensemble des nombres réels?

Comment déterminer l'ensemble de définitions?

Que spécifie l'ensemble de définition?

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