Inéquations avec fractions : variables au dénominateur

Variable au dénominateur 

On s’intéresse ici à des inéquations avec des fractions dans lesquelles les variables apparaissent au dénominateur. 

Exemple 

​$$\frac{x}{x+1}>2$$​​

Résoudre des inéquations avec fractions 

Les inéquations avec fractions sont résolues presque comme des équations avec fractions. 

Note : 

• Quand on multiplie/divise par un nombre négatif, on inverse le signe de relation :
  $$\le \quad \leftrightarrow \quad \ge$$​ et $$< \quad \leftrightarrow \quad >$$​. 
• Quand on multiplie par le dénominateur, il faut à nouveau choisir le signe de relation adapté (dénominateur positif/négatif). 

Méthode 

Conseil : Utilise une droite graduée pour représenter clairement l’ensemble de solution. 

Exemple 

​$$\frac{x}{x+1}>\quad|\times(x+1)$$​​

Distinction des cas : 

Cas 1 : dénominateur positif : $$x+1>0$$​​ Inéquations :

​$$x+1>0$$​​ ​$$\&$$​​ ​$$x>2\times(x+1)$$​​ ​$$x>-1$$​​ ​$$-2>x$$​​

Les inéquations se contredisent. Il n’existe pas de valeurs de x qui satisfont les deux inéquations.

Cas 2 : dénominateur négatif : $$x+1<0$$​  Inéquations :

​$$x+1<0$$​​ ​$$\&$$​​ ​$$x<2\times(x+1)$$​​ ​$$x<-1$$​​ ​$$-2<x$$​​

Valeurs de $$x$$ qui satisfont les deux inéquations :

Ensemble de solution : 

​$$\Bbb S=\{x\in\R \,|\, -2<x<-1\}$$​​

Ou écrit sous forme d’intervalle :

​$$\Bbb S=]-2,-1[$$​​