Pouvoir illimité

Obtiens le pack complet !

Apprendre sans limites

Vidéos explicatives sans publicité evulpo

Nombre illimité d'exercices

Résumés imprimables

Statistiques d'apprentissage détaillées

Rapport d'apprentissage hebdomadaire

Annule à tout moment

À partir de 7.42 € /mois

Profite maintenant de l'abonnement annuel !

Économise 38%

~~11,99 € / Mois~~

Économise 38%

7,42 € / Mois

Aperçu des chapitres

Objectifs d'apprentissage

Mathématiques

Équations avec fractions - Avec variable au dénominateur

Ta progression dans la leçon

Résumé

Télécharger

Équations avec fractions – Avec variable au dénominateur

Le plus important en quelques mots

Si l’inconnue se trouve aussi au dénominateur d’une fraction dans l’équation, on doit d’abord déterminer son « domaine de définition ». Puis, on détermine le résultat de l’équation.

Déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition (D) indique quelles valeurs de x peuvent être introduites dans l’équation.
Dans une fraction, le dénominateur ne peut jamais être zéro. Il faut donc exclure les valeurs de x pour lesquelles un dénominateur de l’équation aurait la valeur zéro.

$\Bbb{D} =\R \ \{ \text{'Valeurs x non autorisées'} \}$

Méthode

1.	Trouve les zéros des expressions en x au dénominateur : Écris les équations : expression au dénominateur $=0$ .
2.	Résous les équations en $x$ une par une. *Note 1 :* Tous les résultats sont des « valeurs de x non autorisées ».
3.	Note le domaine de définition : $\Bbb{D}=\R \backslash \{ …\}$ . Toutes les « valeurs de $x$ non autorisées » sont écrites dans la parenthèse.

Exemple

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$
Zéros des expressions au dénominateur :
$3x-6=0\quad\\x=2\quad$	$x+3=0\\x=-3$
Domaine de définition : $\Bbb{D}=\R\backslash \{-3,2\}$

Résoudre l’équation

On peut réduire les fractions au même dénominateur et les multiplier avec le dénominateur commun pour éliminer la variable au dénominateur.

Méthode

1.	Factorise tous les dénominateurs autant que possible. *Conseil :* Utilise la mise en évidence, les identités remarquables ou l’approche à deux termes.
2.	Réduis les fractions au même dénominateur (même facteurs).
3.	Multiplie avec le dénominateur commun pour éliminer toutes les fractions.
4.	Continue à résoudre l’équation comme d’habitude.
5.	Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition. *Note 2 :* Les solutions doivent être des valeurs de $x$ autorisées. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.

Exemple

Résoudre en $x$
$\frac{3x}{3x-6}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Factorise et réduis :
$\frac{3x}{3(x-2)}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Réduis au même dénominateur :
$\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+3)}$	$=$	$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}$
Multiplie de chaque côté par le dénominateur :
$x(x+3)$	$=$	$(x+2)(x-2)$
Résous l’équation comme d’habitude :
$x^2+3x$	$=$	$x^2-4$	$\rarr$ soustraction de $x^2$ * de chaque côté*
$3x$	$=$	$-4$	$\rarr$ division par 3 de chaque côté
$x$	$=$	$-\frac43$
$x=-\frac43$ Appartient au domaine de définition et est donc une solution.

Équations avec fractions – Avec variable au dénominateur

Le plus important en quelques mots

Déterminer le domaine de définition

$\Bbb{D} =\R \ \{ \text{'Valeurs x non autorisées'} \}$

Méthode

1.	Trouve les zéros des expressions en x au dénominateur : Écris les équations : expression au dénominateur $=0$ .
2.	Résous les équations en $x$ une par une. *Note 1 :* Tous les résultats sont des « valeurs de x non autorisées ».
3.	Note le domaine de définition : $\Bbb{D}=\R \backslash \{ …\}$ . Toutes les « valeurs de $x$ non autorisées » sont écrites dans la parenthèse.

Exemple

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$
Zéros des expressions au dénominateur :
$3x-6=0\quad\\x=2\quad$	$x+3=0\\x=-3$
Domaine de définition : $\Bbb{D}=\R\backslash \{-3,2\}$

Résoudre l’équation

On peut réduire les fractions au même dénominateur et les multiplier avec le dénominateur commun pour éliminer la variable au dénominateur.

Méthode

1.	Factorise tous les dénominateurs autant que possible. *Conseil :* Utilise la mise en évidence, les identités remarquables ou l’approche à deux termes.
2.	Réduis les fractions au même dénominateur (même facteurs).
3.	Multiplie avec le dénominateur commun pour éliminer toutes les fractions.
4.	Continue à résoudre l’équation comme d’habitude.
5.	Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition. *Note 2 :* Les solutions doivent être des valeurs de $x$ autorisées. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.

Exemple

Résoudre en $x$
$\frac{3x}{3x-6}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Factorise et réduis :
$\frac{3x}{3(x-2)}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Réduis au même dénominateur :
$\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+3)}$	$=$	$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}$
Multiplie de chaque côté par le dénominateur :
$x(x+3)$	$=$	$(x+2)(x-2)$
Résous l’équation comme d’habitude :
$x^2+3x$	$=$	$x^2-4$	$\rarr$ soustraction de $x^2$ * de chaque côté*
$3x$	$=$	$-4$	$\rarr$ division par 3 de chaque côté
$x$	$=$	$-\frac43$
$x=-\frac43$ Appartient au domaine de définition et est donc une solution.

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Comment résoudre une équation lorsqu'il y a des variables au dénominateur ?

Réponse : Factorise autant que possible tous les dénominateurs. Réduis les fractions au même dénominateur (même facteurs) et multiplie avec le dénominateur commun chaque côté de l'équation pour éliminer toutes les fractions. Ensuite, continue à résoudre l’équation comme d'habitude et compare les solutions potentielles avec le domaine de définition.
Question : Comment trouver un domaine de définition ?

Réponse : Trouve les zéros des expressions en x au dénominateur. Pour ce faire, écris les équations comme ceci: expression au dénominateur=0 et résous les équations en x une par une. Ensuite, note le domaine de définition : D=R\{ …}.
Question : Qu'est-ce qu'un domaine de définition ?

Réponse : Le domaine de définition (D) indique quelles valeurs de x peuvent être introduites dans l’équation.

Théorie

Exercices

Protection des données

Nous et des tiers, tels que nos partenaires publicitaires et nos prestataires de services, utilisons des cookies et des technologies similaires pour fournir nos services, aider à personnaliser le contenu et mesurer les annonces. En cliquant sur "Accepter les cookies" ou en autorisant uniquement le cookie nécessaire via "Seulement le nécessaire", tu acceptes cette pratique (pour en savoir plus, consulte notre Politique de confidentialité). Politique de confidentialité

Pouvoir illimité

Apprendre sans limites

Profite maintenant de l'abonnement annuel !

Équations avec fractions - Avec variable au dénominateur

Équations avec fractions – Avec variable au dénominateur

Le plus important en quelques mots

Déterminer le domaine de définition

Méthode

Exemple

Résoudre l’équation

Méthode

Exemple

Équations avec fractions – Avec variable au dénominateur

Le plus important en quelques mots

Déterminer le domaine de définition

Méthode

Exemple

Résoudre l’équation

Méthode

Exemple

Théorie comprise ?