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Ensembles de nombres : structures et intervalles

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Résumés

Ensembles de nombres : structures et intervalles

Aperçu 

Les différents ensembles de nombres décrivent une collection de nombres précis. 


Ensembles importants

​N\NN​​
Nombres entiers naturels
Nombres utilisés pour compter : 0;1;2;3;4;… 0; 1; 2; 3; 4;… 0;1;2;3;4;…​​
​Z\ZZ​​
Nombres entiers relatifs
Nombres entiers naturels avec tous les nombres opposés de cet ensemble : 
…;−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;……;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; ……;−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4;…​ (sans nombres décimaux)
​D\Bbb DD​​
Nombres décimaux
Nombres dont la notation à virgule comporte un nombre fini de décimales : 
…;−3;−2,5;0;1;1,47;……;-3;-2,5; 0; 1; 1,47; … …;−3;−2,5;0;1;1,47;…​​
​Q\Bbb QQ​
Nombres rationnels
Nombres qui peuvent être écrits comme fraction de deux entiers relatifs :
​pq,{p,q∈Z∣q≠0}\frac pq,\{ p,q\in Z | q\ne0\} qp​,{p,q∈Z∣q=0}​​
​R\Q\R \backslash \Bbb QR\Q
Nombres irrationnels
Nombres dont la notation décimale est non périodique et infinie
​R\RR​​
Nombres réels
Nombres qui sont rationnels ou irrationnels, par ex. racines de nombres, constantes naturelles (π,e) (\pi,e) (π,e)​​



Nombres périodiques 

Quand un chiffre ou une séquence de chiffres se répète indéfiniment dans la partie décimale d’un nombre, le nombre est appelé périodique. Un nombre périodique s’écrit en plaçant un trait au-dessus du chiffre ou de la séquence qui se répète. La partie qui se répète est appelée période. 


​13=0,3333333...=0,3‾\frac13=0,3333333...=0,\overline{3} 31​=0,3333333...=0,3​​



Structure 

Les ensembles N,Z,D,Q,R\N, \Z, \Bbb D, \Bbb Q, \RN,Z,D,Q,R​ sont ordonnés par rapport à l’inclusion. On écrit :

​N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\N\sub\Z \sub \Bbb D \sub\Bbb Q\sub\R N⊂Z⊂D⊂Q⊂R​​


Exemples 


Termes additionnels 


​Z0+,Q0+,R0+\Z_0^+,\Bbb Q_0^+,\R_0^+Z0+​,Q0+​,R0+​​​
Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels positifs avec 0
​Z0−,Q0−,R0−\Z_0^-,\Bbb Q_0^-,\R_0^-Z0−​,Q0−​,R0−​​​
Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels négatifs avec 0
​Z+,Q+,R+\Z^+,\Bbb Q^+,\R^+Z+,Q+,R+​​
Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels positifs sans 0
​Z−,Q−,R−\Z^-,\Bbb Q^-,\R^-Z−,Q−,R−​​
Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels négatifs sans 0



Intervalles 

Un intervalle de R\RR​ décrit un sous-ensemble dans l’ensemble des réels. 


Différents types d’intervalles 

Intervalle fermé
​[a,b]={x∈R∣a≤x≤b} [a,b]=\{x\in \R | a\le x\le b\}[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}​​
[a,b][a,b][a,b]​ contient aaa​ et bbb​.​
Intervalle ouvert
​]a,b[={x∈R∣a<x<b} ]a,b[=\{x\in \R | a<x<b\}]a,b[={x∈R∣a<x<b}​​
]a,b[]a,b[]a,b[​ ne contient ni aaa​ ni bbb​.
Intervalle semi-ouvert à droite
​[a,b[={x∈R∣a≤x<b} [a,b[=\{x\in R | a\le x<b\}[a,b[={x∈R∣a≤x<b}​​
[a,b[[a,b[ [a,b[ contient aaa​ mais pas bbb​.
Intervalle semi-ouvert à gauche
​]a,b]={x∈R∣a<x≤b} ]a,b]=\{x\in R | a<x\le b\}]a,b]={x∈R∣a<x≤b}​​
]a,b]]a,b]]a,b]​ contient bbb​ mais pas aaa​.

 

Les intervalles peuvent aussi représenter une demi-droite, c’est-à-dire un ensemble de réel inférieur ou supérieur à une valeur. 


Exemples 
​]−∞,a]={x∈R∣x≤a}]-\infty,a]=\{x\in\R | x\le a\} ]−∞,a]={x∈R∣x≤a}​​
​]a,+∞[={x∈R∣a<x}]a,+\infty[=\{x\in \R |a<x\} ]a,+∞[={x∈R∣a<x}​​


Note : Les crochets autour des infinis -∞ et +∞ sont toujours des crochets ouverts. 



Intervalles sur une droite réelle 



Intervalles centrés en un point 

L’intervalle centré en a et de rayon r, [a-r,a+r], est le suivant : 



Une valeur absolue peut être utilisée pour décrire cet intervalle, les points xxx​ contenus dans cet intervalle vérifiant l’inégalité ∣x−a∣≤r.|x-a|\le r.∣x−a∣≤r.​.


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Ensembles de nombres : structures et intervalles

Unité 1

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quels sont les ensembles importants ?

N : Nombres entiers naturels / Z : Nombres entiers relatifs / ⅅ : Nombres décimaux / Q : Nombres rationnels / R\Q . Nombres irrationnels /R : Nombres réels.

Qu'est-ce qu'un intervalle fermé ?

[a,b] signifie que l'intervalle est composé de tous les nombres entre a et b, y compris a et b.

Comment savoir si un intervalle est ouvert ou fermé ?

Si les deux crochets sont tournés vers l'intérieur ([,]), il s'agit d'un intervalle fermé, s'ils sont tournés vers l'extérieur (],[), il s'agit d'un intervalle ouvert.

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