Ensembles de nombres : structures et intervalles

Aperçu

Les différents ensembles de nombres décrivent une collection de nombres précis.

Ensembles importants

$\N$	Nombres entiers naturels	Nombres utilisés pour compter : $0; 1; 2; 3; 4;…$
$\Z$	Nombres entiers relatifs	Nombres entiers naturels avec tous les nombres opposés de cet ensemble : $…;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; …$ (sans nombres décimaux)
$\Bbb D$	Nombres décimaux	Nombres dont la notation à virgule comporte un nombre fini de décimales : $…;-3;-2,5; 0; 1; 1,47; …$
$\Bbb Q$	Nombres rationnels	Nombres qui peuvent être écrits comme fraction de deux entiers relatifs : $\frac pq,\{ p,q\in Z \| q\ne0\}$
$\R \backslash \Bbb Q$	Nombres irrationnels	Nombres dont la notation décimale est non périodique et infinie
$\R$	Nombres réels	Nombres qui sont rationnels ou irrationnels, par ex. racines de nombres, constantes naturelles $(\pi,e)$

Nombres périodiques

Quand un chiffre ou une séquence de chiffres se répète indéfiniment dans la partie décimale d’un nombre, le nombre est appelé périodique. Un nombre périodique s’écrit en plaçant un trait au-dessus du chiffre ou de la séquence qui se répète. La partie qui se répète est appelée période.

$\frac13=0,3333333...=0,\overline{3}$

Structure

Les ensembles $\N, \Z, \Bbb D, \Bbb Q, \R$ sont ordonnés par rapport à l’inclusion. On écrit :

$\N\sub\Z \sub \Bbb D \sub\Bbb Q\sub\R$

Exemples

Termes additionnels

$\Z_0^+,\Bbb Q_0^+,\R_0^+$	Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels positifs avec 0
$\Z_0^-,\Bbb Q_0^-,\R_0^-$	Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels négatifs avec 0
$\Z^+,\Bbb Q^+,\R^+$	Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels positifs sans 0
$\Z^-,\Bbb Q^-,\R^-$	Nombres entiers relatifs, rationnels ou réels négatifs sans 0

Intervalles

Un intervalle de $\R$ décrit un sous-ensemble dans l’ensemble des réels.

Différents types d’intervalles

Intervalle fermé $[a,b]=\{x\in \R \| a\le x\le b\}$ $[a,b]$ contient $a$ et $b$ .
Intervalle ouvert $]a,b[=\{x\in \R \| a<x<b\}$ $]a,b[$ ne contient ni $a$ ni $b$ .
Intervalle semi-ouvert à droite $[a,b[=\{x\in R \| a\le x<b\}$ $[a,b[$ contient $a$ mais pas $b$ .
Intervalle semi-ouvert à gauche $]a,b]=\{x\in R \| a<x\le b\}$ $]a,b]$ contient $b$ mais pas $a$ .

Les intervalles peuvent aussi représenter une demi-droite, c’est-à-dire un ensemble de réel inférieur ou supérieur à une valeur.

Exemples

]-\infty,a]=\{x\in\R | x\le a\}

]a,+\infty[=\{x\in \R |a<x\}

Note : Les crochets autour des infinis -∞ et +∞ sont toujours des crochets ouverts.

Intervalles sur une droite réelle

Intervalles centrés en un point

L’intervalle centré en a et de rayon r, [a-r,a+r], est le suivant :

Une valeur absolue peut être utilisée pour décrire cet intervalle, les points $x$ contenus dans cet intervalle vérifiant l’inégalité $|x-a|\le r.$ .