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Résumés

Relations entre droites

Relations entre deux droites

CONFONDUES

Les droites se superposent :

  • Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires).
  • Chaque point de référence est situé sur les deux droites.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites

PARALLÈLES

Les droites sont parallèles ; elles ne se croisent pas.

  • Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires).
  • Les points de référence ne sont pas situés sur les deux droites.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites

SÉCANTES

Les droites se croisent au point d’intersection S.

  • Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.
  • Les droites ont un point commun.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites


Note : Dans le cas où les droites sont données sous forme réduite (y1=a1x+b1y_1=a_1x+b_1y1​=a1​x+b1​​ et y2=a2x+b2y_2=a_2x+b_2y2​=a2​x+b2​​), alors elles sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux (a1=a2a_1=a_2a1​=a2​​).



Déterminer la relation

Avec un système d’équations

MÉTHODE

1.

Exprime les deux droites sous forme cartésienne et place-les dans un système d’équation :

 {u1x+v1y+w1=0u2x+v2y+w2=0\begin{cases}u_1x+v_1y+w_1=0\\u_2x+v_2y+w_2=0\end{cases}{u1​x+v1​y+w1​=0u2​x+v2​y+w2​=0​​

2.

Résous le système d’équations pour xxx​ et yyy​ :

Infinité de solutions :

 Les droites sont confondues.

Solution unique pour xxx​ et yyy​ :

 Les droites sont sécantes et se croisent au point (x,y)(x,y)(x,y)​.

Pas de résultat :

 Les droites sont distinctes et parallèles.


Conseil : Si les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires), les droites le sont aussi. Si de plus elles partagent au moins un point en commun, elles sont confondues.


Exemple

Déterminer la relation entre les droites 3x−2y+4=03x-2y+4=03x−2y+4=0​ et x+2y−4=0x+2y-4=0x+2y−4=0​.


Place-les dans un système d’équation :

{3x−2y+4=0x+2y−4=0\begin{cases}3x-2y+4=0\\x+2y-4=0\end{cases}{3x−2y+4=0x+2y−4=0​​​


Isole xxx​ dans une équation :  

x+2y−4=0x=4−2yx+2y-4=0\\x=4-2yx+2y−4=0x=4−2y​​


Remplace xxx​ dans l’autre équation :

3×(4−2y)−2y+4=012−6y−2y+4=0−8y=−16y=23\times(4-2y)-2y+4=0\\12-6y-2y+4=0\\-8y=-16\\y=23×(4−2y)−2y+4=012−6y−2y+4=0−8y=−16y=2​​


Remplace yyy​ pour trouver xxx :

x=4−2×2=0x=4-2\times2=0x=4−2×2=0​​


Les droites sont sécantes et se croisent au point (0,2)‾\underline{\left(0,2\right)}(0,2)​​.








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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand est-ce que deux droites sont sécantes ?

Lorsque les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles mais que les droites ont un point en commun.

Quand est-ce que deux droites sont confondues ?

Les droites se superposent lorsque les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires) et que chaque point de référence est situé sur les deux droites.

Quand est-ce que deux droites sont parallèles ?

Les droites sont parallèles si elles ne se croisent jamais : les vecteurs directeurs sont colinéaires, mais les points de référence ne sont pas situés sur les deux droites.

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