Relations entre droites

Relations entre deux droites

CONFONDUES	Les droites se superposent : Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires). Chaque point de référence est situé sur les deux droites.

PARALLÈLES	Les droites sont parallèles ; elles ne se croisent pas. Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires). Les points de référence ne sont pas situés sur les deux droites.

SÉCANTES	Les droites se croisent au point d’intersection S. Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles. Les droites ont un point commun.

Note : Dans le cas où les droites sont données sous forme réduite ( $y_1=a_1x+b_1$ et $y_2=a_2x+b_2$ ), alors elles sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux ( $a_1=a_2$ ).

Déterminer la relation

Avec un système d’équations

MÉTHODE

1.	Exprime les deux droites sous forme cartésienne et place-les dans un système d’équation : $\begin{cases}u_1x+v_1y+w_1=0\\u_2x+v_2y+w_2=0\end{cases}$
2.	Résous le système d’équations pour $x$ et $y$ :
	Infinité de solutions :  Les droites sont confondues.
	Solution unique pour $x$ et $y$ :  Les droites sont sécantes et se croisent au point $(x,y)$ .
	Pas de résultat :  Les droites sont distinctes et parallèles.

Conseil : Si les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires), les droites le sont aussi. Si de plus elles partagent au moins un point en commun, elles sont confondues.

Exemple

Déterminer la relation entre les droites $3x-2y+4=0$ et $x+2y-4=0$ .

Place-les dans un système d’équation :

$\begin{cases}3x-2y+4=0\\x+2y-4=0\end{cases}$ 

Isole $x$ dans une équation :

$x+2y-4=0\\x=4-2y$ 

Remplace $x$ dans l’autre équation :

$3\times(4-2y)-2y+4=0\\12-6y-2y+4=0\\-8y=-16\\y=2$ 

Remplace $y$ pour trouver $x$ :

$x=4-2\times2=0$ 

Les droites sont sécantes et se croisent au point $\underline{\left(0,2\right)}$ .