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Relations entre droites

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Enseignant: Clémence

Résumés

Relations entre droites

Relations entre deux droites

CONFONDUES

Les droites se superposent :

  • Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires).
  • Chaque point de référence est situé sur les deux droites.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites

PARALLÈLES

Les droites sont parallèles ; elles ne se croisent pas.

  • Les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires).
  • Les points de référence ne sont pas situés sur les deux droites.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites

SÉCANTES

Les droites se croisent au point d’intersection S.

  • Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.
  • Les droites ont un point commun.
Mathématiques; Droites; 2de générale; Relations entre droites


NoteDans le cas où les droites sont données sous forme réduite (y1=a1x+b1y_1=a_1x+b_1 et y2=a2x+b2y_2=a_2x+b_2), alors elles sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux (a1=a2a_1=a_2​).



Déterminer la relation

Avec un système d’équations

MÉTHODE

1.

Exprime les deux droites sous forme cartésienne et place-les dans un système d’équation :

 {u1x+v1y+w1=0u2x+v2y+w2=0\begin{cases}u_1x+v_1y+w_1=0\\u_2x+v_2y+w_2=0\end{cases}

2.

Résous le système d’équations pour xx et yy :


Infinité de solutions :

 Les droites sont confondues.


Solution unique pour xx et yy :

 Les droites sont sécantes et se croisent au point (x,y)(x,y).


Pas de résultat :

 Les droites sont distinctes et parallèles.


Conseil : Si les vecteurs directeurs sont parallèles (colinéaires), les droites le sont aussi. Si de plus elles partagent au moins un point en commun, elles sont confondues.


Exemple

Déterminer la relation entre les droites 3x2y+4=03x-2y+4=0 et x+2y4=0x+2y-4=0.


Place-les dans un système d’équation :

{3x2y+4=0x+2y4=0\begin{cases}3x-2y+4=0\\x+2y-4=0\end{cases}​​


Isole xx dans une équation :  

x+2y4=0x=42yx+2y-4=0\\x=4-2y​​


Remplace xx dans l’autre équation :

3×(42y)2y+4=0126y2y+4=08y=16y=23\times(4-2y)-2y+4=0\\12-6y-2y+4=0\\-8y=-16\\y=2​​


Remplace yy​ pour trouver xx :

x=42×2=0x=4-2\times2=0​​


Les droites sont sécantes et se croisent au point (0,2)\underline{\left(0,2\right)}​.


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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand est-ce que deux droites sont sécantes ?

Quand est-ce que deux droites sont confondues ?

Quand est-ce que deux droites sont parallèles ?

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