Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes

Ensembles

En probabilité, les résultats d’expériences aléatoires peuvent être interprétés comme des ensembles distincts ou composés. En cherchant la probabilité des ensembles, on peut déterminer la probabilité des résultats dans ces ensembles.

Probabilités pour les opérations ensemblistes

NOM	NOTATION	SIGNIFICATION
Probabilité	$P(A)$	Probabilité que l’événement $A$ se produise.
Probabilité du complémentaire d’un ensemble	$P(A)$	Probabilité que $A$ ne se produise pas. $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$
Probabilité d’une intersection	$P(A\cap B)$	Probabilité que les événements $A$ et $B$ se produisent tous les deux.
Probabilité d’une réunion	$P(A\cup B)$	Probabilité qu’ $A$ et $B$ se produisent tous les deux ou que seulement $A$ ou $B$ se produise.

Relations importantes

$P\left(A\cup B\right)+P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$
$P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$

Cas particuliers

Déterminer les complémentaires des ensembles $A\cup B$ et $\ A\cap B$ :

Théorie des ensembles	Probabilité
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$	$P\left(A\cup B\right)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})$
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$	$P\left(A\cap B\right)=1-P(\overline{A}\cup\overline{B})$

Exemple

Le glacier « Étoile polaire » ne vend que des glaces au chocolat et à la vanille. On peut soit commander une boule dans un cône soit une boule dans une coupe.

Le tableau suivant indique ce que 100 clients ont commandé.

Calcule la probabilité que quelqu’un prenne une boule de chocolat ou une coupe.

	Chocolat	Vanille
Coupe	$35$	$30$
Cône	$15$	$20$

Calcul de la probabilité d’une coupe :

$P\left(coupe\right)=\frac{35+30}{100}=\frac{65}{100}=0,65=65\%$ 

Calcul de la probabilité de chocolat :

$P\left(chocolat\right)=\frac{35+15}{100}=\frac{50}{100}=0,5=50\%$ 

Calcul de la probabilité d’une glace au chocolat dans une coupe :

$P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=\frac{35}{100}=0,35=35\%$ 

Probabilité de chocolat ou de coupe en utilisant la relation $P\left(A\cup B\right)+P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ :

$P\left(chocolat\cup c o u p e\right)=P\left(chocolat\right)+P\left(coupe\right)-P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=0,5+0,65-0,35=0,80=\underline{80\%}$ 