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Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes

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Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes

Ensembles

En probabilité, les résultats d’expériences aléatoires peuvent être interprétés comme des ensembles distincts ou composés. En cherchant la probabilité des ensembles, on peut déterminer la probabilité des résultats dans ces ensembles.



Probabilités pour les opérations ensemblistes 

NOM

NOTATION

SIGNIFICATION

Probabilité

P(A)P(A)​​

Probabilité que l’événement AA​ se produise.

Probabilité du complémentaire d’un ensemble

P(A)P(A)​​

Probabilité que AA​ ne se produise pas.

P(A)=1P(A)P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)​​

Probabilité d’une intersection

P(AB)P(A\cap B)​​

Probabilité que les événements AA​ et BB​ se produisent tous les deux.

Probabilité d’une réunion

P(AB)P(A\cup B)​​

Probabilité qu’ AA​ et BB​ se produisent tous les deux ou que seulement AA​ ou BB​ se produise.



Relations importantes

P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)P\left(A\cup B\right)+P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)​​

Mathématiques; Probabilités; 2de générale; Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes

P(A)+P(A)=1P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1​​

Mathématiques; Probabilités; 2de générale; Ensembles et probabilités : opérations ensemblistes



Cas particuliers 

Déterminer les complémentaires des ensembles ABA\cup B​ et  AB\ A\cap B :

Théorie des ensembles

Probabilité

AB=AB\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}​​

P(AB)=1P(AB)P\left(A\cup B\right)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})​​

AB=AB\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}​​

P(AB)=1P(AB)P\left(A\cap B\right)=1-P(\overline{A}\cup\overline{B})​​


 

Exemple

Le glacier « Étoile polaire » ne vend que des glaces au chocolat et à la vanille. On peut soit commander une boule dans un cône soit une boule dans une coupe.

Le tableau suivant indique ce que 100 clients ont commandé.

Calcule la probabilité que quelqu’un prenne une boule de chocolat ou une coupe.


Chocolat

Vanille

Coupe

3535​​

3030​​

Cône

1515​​

2020​​

Calcul de la probabilité d’une coupe :

P(coupe)=35+30100=65100=0,65=65%P\left(coupe\right)=\frac{35+30}{100}=\frac{65}{100}=0,65=65\%​​


Calcul de la probabilité de chocolat :

P(chocolat)=35+15100=50100=0,5=50%P\left(chocolat\right)=\frac{35+15}{100}=\frac{50}{100}=0,5=50\%​​


Calcul de la probabilité d’une glace au chocolat dans une coupe : 

P(chocolatcoupe)=35100=0,35=35%P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=\frac{35}{100}=0,35=35\%​​


Probabilité de chocolat ou de coupe en utilisant la relation P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)P\left(A\cup B\right)+P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right) :

P(chocolatcoupe)=P(chocolat)+P(coupe)P(chocolatcoupe)=0,5+0,650,35=0,80=80%P\left(chocolat\cup c o u p e\right)=P\left(chocolat\right)+P\left(coupe\right)-P\left(chocolat\cap c o u p e\right)=0,5+0,65-0,35=0,80=\underline{80\%}​​




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Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Qu'est-ce qu'une réunion en probabilité ?

    Réponse : On parle de réunion lorsque deux événements A et B se produisent tous les deux ou que seulement A ou B se produit.

  • Question : Comment calculer P(A∪B)?

    Réponse : P(A∪B) peut se calculer de la façon suivante : P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

  • Question : Qu'est-ce qu'une intersection en probabilité ?

    Réponse : On parle d'intersection lorsque deux événements A et B se produisent tous les deux.

Théorie

Exercices

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