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Mathématiques

Fonctions : variations et extremums

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Résumé

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Fonctions : variations et extremums

Variations

Fonction croissante	Fonction décroissante
$x_1<x_2⟹f(x_1 )≤f(x_2 )$ Les valeurs de la fonction augmentent.	$x_1<x_2⟹f(x_1 )≥f(x_2 )$ Les valeurs de la fonction diminuent.

Le taux d’accroissement d’une fonction donne une valeur pour mesurer sa variation.

Une fonction est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Note : Pour une fonction affine, le taux d’accroissement est égal au coefficient directeur.

Exemple

La fonction $f(x)=2x+1$ 

Le taux d’accroissement de cette fonction est de 2.

Extremums

Définition

Les extremums sont les maximums et minimums d’une fonction.

MAXIMUM	minimum
Un maximum est un point où la fonction atteint la plus haute valeur de $y$ parmi les points alentours. Toutes les valeurs de $y$ avant et après un maximum sont plus petites. Visuellement, un maximum est le sommet d’une colline formée par la courbe de la fonction.	Un minimum est un point où la fonction atteint la plus basse valeur de $y$ parmi les points alentours. Toutes les valeurs de $y$ avant et après un minimum sont plus grandes. Visuellement, un minimum est le fond d’une vallée formée par la courbe de la fonction.

Note : Il existe des extremums locaux et globaux. Les extremums locaux sont les extremums de la fonction sur un intervalle restreint, tandis que les extremums globaux sont le minimum et le maximum de la fonction prise dans son ensemble.

Tableau de variation

Le tableau de variation d’une fonction permet de résumer la variation et les extremums de la courbe associée à la fonction.

MÉTHODE

Détermine sur quels intervalles la fonction croît, décroît, a un minimum ou un maximum.

Construis un tableau de variation :
Écris dans la première ligne les antécédents correspondants aux bornes des intervalles.
Écris dans la deuxième ligne la variation et les images des extremums de la fonction.
• Ecris ↗ quand la fonction croît, ↘ quand elle décroît.
• Ecris la valeur de l’image quand la fonction a un minimum ou un maximum.
• Note deux barres quand la fonction tend vers un infini.

Exemple

La fonction :

• décroît sur $]-∞,-1]$
• a un minimum local en $(-1;2)$
• croît sur $[-1,2]$

• a un maximum local en $(2;4)$
• décroît sur $[2,+∞[$

Construis le tableau de variation :

Fonctions : variations et extremums

Variations

Fonction croissante	Fonction décroissante
$x_1<x_2⟹f(x_1 )≤f(x_2 )$ Les valeurs de la fonction augmentent.	$x_1<x_2⟹f(x_1 )≥f(x_2 )$ Les valeurs de la fonction diminuent.

Le taux d’accroissement d’une fonction donne une valeur pour mesurer sa variation.

Une fonction est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Note : Pour une fonction affine, le taux d’accroissement est égal au coefficient directeur.

Exemple

La fonction $f(x)=2x+1$ 

Le taux d’accroissement de cette fonction est de 2.

Extremums

Définition

Les extremums sont les maximums et minimums d’une fonction.

MAXIMUM	minimum
Un maximum est un point où la fonction atteint la plus haute valeur de $y$ parmi les points alentours. Toutes les valeurs de $y$ avant et après un maximum sont plus petites. Visuellement, un maximum est le sommet d’une colline formée par la courbe de la fonction.	Un minimum est un point où la fonction atteint la plus basse valeur de $y$ parmi les points alentours. Toutes les valeurs de $y$ avant et après un minimum sont plus grandes. Visuellement, un minimum est le fond d’une vallée formée par la courbe de la fonction.

Tableau de variation

Le tableau de variation d’une fonction permet de résumer la variation et les extremums de la courbe associée à la fonction.

MÉTHODE

Détermine sur quels intervalles la fonction croît, décroît, a un minimum ou un maximum.

Exemple

La fonction :

• décroît sur $]-∞,-1]$
• a un minimum local en $(-1;2)$
• croît sur $[-1,2]$

• a un maximum local en $(2;4)$
• décroît sur $[2,+∞[$

Construis le tableau de variation :

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Qu'est ce qu'un maximum et un minimum?

Réponse : Un maximum est un point où la fonction atteint la plus haute valeur de y parmi les points alentours. Toutes les valeurs de y avant et après un maximum sont plus petites. Un minimum est un point où la fonction atteint la plus basse valeur de y parmi les points alentours. Toutes les valeurs de y avant et après un minimum sont plus grandes.
Question : Que sont les extremums?

Réponse : Les extremums sont les maximums et minimums d’une fonction.
Question : Que signifie "une fonction monotone"?

Réponse : Une fonction est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Théorie

Exercices

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Variations

Exemple

Extremums

Définition

MAXIMUM

minimum

Tableau de variation

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Exemple

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Variations

Exemple

Extremums

Définition

MAXIMUM

minimum

Tableau de variation

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