Potenzgleichungen lösen: Vorgehen & Beispiel

Definition

Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

$$x^n=c;$$     $$c\in \mathbb{R} \{ 0\}, n\in\mathbb{N}, n≥2$$

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Du kannst diese entweder graphisch lösen, indem Du die Schnittpunkte des Graphen der Funktion $$f(x)=x^n$$​ mit der Geraden $$g(x)=c$$​  bestimmst, oder indem Du die $$n$$​ -te Wurzel aus $$c$$​  berechnest.

Die $$n$$​ -te Wurzel von $$c$$​  ist diejenige nicht-negative Zahl, deren $$n$$​ -te Potenz $$c$$​  ergibt. Hierbei musst Du aber beachten, dass Du nur die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kannst, wenn $$n$$​  ungerade ist. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies, wenn $$x^n=c$$​  gilt, dann gilt auch $$x=\sqrt[n]{c}$$​  für alle $$n\in \mathbb{N}$$​ .

Anmerkung: Wenn $$n=2$$​  ist, gibt es zwei mögliche Schreibweisen: $$\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$$.

Genauso, wie Du eine Addition rückgängig machen kannst, indem Du die Subtraktion anwendest, oder die Multiplikation rückgängig machen kannst, indem Du die Division anwendest, so kannst Du auch das Potenzieren rückgängig machen, indem Du die Wurzel ziehst. Dieser Prozess nennt sich auch radizieren. Die Zahl, welche unter der Wurzel steht, wird auch Radikand genannt.

Lösen von Potenzgleichungen

Beim Lösen von Potenzgleichungen der Form $$x^n=c$$​  treten $$4$$ unterschiedliche Fälle auf. Je nach Fall gibt es eine mögliche Lösung, zwei mögliche Lösungen oder gar keine.

Beispiel:

Du kannst Potenzgleichungen auch graphisch lösen:

$$x^2=-6$$​ soll gelöst werden. Dazu schaust Du Dir die Graphen von $$f(x)=x^2=-6$$ und von der Gerade bei $$y=-6$$​ an und suchst nach Schnittpunkten der beiden:

Wie du sehen kannst, gibt es keine Schnittpunkte. Daher hat die Gleichung $$x^2=-6$$​  keine Lösung.

Beispiel:

$$x^4=16$$ soll gelöst werden.

Dazu schaust Du Dir den Graphen von $$f(x)=x^4$$​ an und schaust nach Schnittpunkten mit der Geraden bei $$y=16$$.

Wie Du siehst, hat die Gleichung $$x^4=16$$​ zwei Lösungen, nämlich $$\underline {x_1=2}$$​ und $$\underline {x_2=-2}$$.