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Potenzgleichungen lösen: Vorgehen & Beispiel

Definition

Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form

xn=c;x^n=c; xn=c;     c∈R{0},n∈N,n≥2c\in \mathbb{R} \{ 0\}, n\in\mathbb{N}, n≥2c∈R{0},n∈N,n≥2

​​

Du kannst diese entweder graphisch lösen, indem Du die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn​ mit der Geraden g(x)=cg(x)=cg(x)=c​  bestimmst, oder indem Du die nnn​ -te Wurzel aus ccc​  berechnest.


Die nnn​ -te Wurzel von ccc​  ist diejenige nicht-negative Zahl, deren nnn​ -te Potenz ccc​  ergibt. Hierbei musst Du aber beachten, dass Du nur die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kannst, wenn nnn​  ungerade ist. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies, wenn xn=cx^n=cxn=c​  gilt, dann gilt auch x=cnx=\sqrt[n]{c}x=nc​​  für alle n∈Nn\in \mathbb{N}n∈N​ .


Anmerkung: Wenn n=2n=2n=2​  ist, gibt es zwei mögliche Schreibweisen: x2=x\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}2x​=x​.


Genauso, wie Du eine Addition rückgängig machen kannst, indem Du die Subtraktion anwendest, oder die Multiplikation rückgängig machen kannst, indem Du die Division anwendest, so kannst Du auch das Potenzieren rückgängig machen, indem Du die Wurzel ziehst. Dieser Prozess nennt sich auch radizieren. Die Zahl, welche unter der Wurzel steht, wird auch Radikand genannt.


Lösen von Potenzgleichungen

Beim Lösen von Potenzgleichungen der Form xn=cx^n=cxn=c​  treten 444 unterschiedliche Fälle auf. Je nach Fall gibt es eine mögliche Lösung, zwei mögliche Lösungen oder gar keine.

 nnn gerade

 nnn ungerade

​ c>0c>0c>0​

​ c<0c<0c<0​

​ c>0c>0c>0​

​ c<0c<0c<0​

Zwei Lösungen:

x1=cnx_1=\sqrt[n]{c}x1​=nc​​​

x2=−cnx_2=-\sqrt[n]{c}x2​=−nc​​​

Keine Lösung

Eine Lösung:

x=cnx=\sqrt[n]{c}x=nc​​​

Eine Lösung:

x=−∣c∣n=−−cnx=-\sqrt[n]{|c|}= -\sqrt[n]{-c}x=−n∣c∣​=−n−c​​  wenn c<0c<0c<0​

Beispiel:

x4=81x^4=81x4=81​

x1=814=3x_1=\sqrt[4]{81}=3x1​=481​=3

​x2=−814=−3x_2=-\sqrt[4]{81}=-3x2​=−481​=−3​
Beispiel:

x2=−1x^2=-1x2=−1​

(keine Lösung)
Beispiel:

x3=216x^3=216x3=216​

x=2163=6x=\sqrt[3]{216}=6x=3216​=6​​
Beispiel:

x5=−3125x^5=-3125x5=−3125

x=−∣−3125∣5=−31255=−5x=-\sqrt[5]{|-3125|}= -\sqrt[5]{3125}=-5x=−5∣−3125∣​=−53125​=−5​​


Beispiel:

Du kannst Potenzgleichungen auch graphisch lösen:

x2=−6x^2=-6x2=−6​ soll gelöst werden. Dazu schaust Du Dir die Graphen von f(x)=x2=−6f(x)=x^2=-6f(x)=x2=−6 und von der Gerade bei y=−6y=-6y=−6​ an und suchst nach Schnittpunkten der beiden:

Mathematik; Potenzen; 9. Klasse Gymnasium; Potenzgleichungen lösen: Vorgehen & Beispiel

Wie du sehen kannst, gibt es keine Schnittpunkte. Daher hat die Gleichung x2=−6x^2=-6x2=−6​  keine Lösung.


Beispiel:

x4=16x^4=16x4=16 soll gelöst werden.

Dazu schaust Du Dir den Graphen von f(x)=x4f(x)=x^4f(x)=x4​ an und schaust nach Schnittpunkten mit der Geraden bei y=16y=16y=16.

Mathematik; Potenzen; 9. Klasse Gymnasium; Potenzgleichungen lösen: Vorgehen & Beispiel


Wie Du siehst, hat die Gleichung x4=16x^4=16x4=16​ zwei Lösungen, nämlich x1=2‾\underline {x_1=2}x1​=2​​ und x2=−2‾\underline {x_2=-2}x2​=−2​.

                                                     


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie löse ich eine Potenzgleichung graphisch?

Du löst die Potenzgleichung grapfisch, indem Du den Schnittpunkt des Graphen der Potenzfunktion und der Gerade suchst.

Wie kann ich eine Potenzgleichung lösen?

Eine Potenzgleichung kann entweder graphisch oder rechnerisch gelöst werden.

Was ist eine Potenzgleichung?

Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form x^n = c.

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