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Wurzelgleichungen lösen & Definitionsbereich bestimmen

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Erklärvideo

Lehrperson: Luca

Zusammenfassung

Wurzelgleichungen lösen & Definitionsbereich bestimmen

Wichtiges in Kürze

Eine Wurzelgleichung enthält mindestens einen Term mit der Variable unter der Wurzel.


Beispiel: 55−3x−x=5\sqrt{55-3x}-x=555−3x​−x=5​

​

Man muss zuerst den „Definitionsbereich“ für die Variable bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung.



Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich D\mathbb{D}D​  ist begrenzt auf den Bereich, wo der gesamte Term unter der Wurzel positiv ist.



Vorgehen

1.

Bestimme den Zahlenbereich von xxx, für den die Terme unter den Wurzeln größer oder gleich Null sind.

2.

Notiere den Definitionsbereich: D=R≤ Nicht erlaubter Zahlenbereich\mathbb{D}=\R_{\leq \ \text{Nicht erlaubter Zahlenbereich}}D=R≤ Nicht erlaubter Zahlenbereich​​

Nutze ≤\leq≤ oder ≥\geq≥.


​

Gleichung lösen

Wurzelgleichungen benötigen ein spezielles Vorgehen:



Vorgehen

1.

Wurzel mit xxx​ alleine auf eine Seite bringen.

2.

Beide Seiten quadrieren.

Hinweis: Beachte, dass die ganze Seite quadriert wird, nicht die einzelnen Terme. Oftmals benötigt man eine binomische Formel.

3.

Löse die Gleichung wie gewohnt.

4.

Vergleiche die Lösung mit dem Definitionsbereich.

Die Lösung muss ein erlaubter xxx​-Wert sein. Ansonsten hat die Gleichung keine Lösung.


Tipp: Bei mehreren Wurzeln muss man meist zuerst eine Wurzel alleine stellen, und dann nach Schritt 2 auch die übrigen Wurzeln.



Beispiel

​55−3x−x=5\sqrt{55-3x}-x=555−3x​−x=5​​


Definitionsbereich: xxx​-Bereich bestimmen, sodass: 55−3x≥055-3x \geq 055−3x≥0

x≤553D=R≤553\begin{aligned} x& \leq \frac{55}{3} \\\mathbb{D}&= \R_{\leq \frac{55}{3}} \end{aligned}xD​≤355​=R≤355​​​



​​

Wurzel alleine stellen:

55−3x=5+x\sqrt{55-3x}=5+x55−3x​=5+x​​


Seiten quadrieren:

55−3x=(5+x)255−3x=x2+10x+25\begin{aligned} 55-3x&= (5+x)^2 \\55-3x&= x^2+10x+25 \end{aligned}55−3x55−3x​=(5+x)2=x2+10x+25​



​​

Quadratische Gleichung lösen wie gewohnt:

​0=x2+13x−300=(x−2)(x+15)\begin{aligned}0&= x^2+13x-30 \\0&= (x-2)(x+15) \end{aligned}00​=x2+13x−30=(x−2)(x+15)​​​


Lösungen: x=2‾\underline{x=2}x=2​ und x=−15‾\underline{x=-15}x=−15​​

.

Beide Werte werden vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und sind somit die Lösungen der Gleichung.


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Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Teil 1

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Bruchterme mit Wurzeln: Vorgehen & Beispiel

Teil 2

Bruchterme mit Wurzeln: Vorgehen & Beispiel

Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

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Wurzeln: Definition, Rechenregeln & Beispiele

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bekomme ich die Wurzel weg bei Wurzelgleichungen?

Beide Seiten quadrieren. Hinweis: Beachte, dass die ganze Seite quadriert wird, nicht die einzelnen Terme. Oftmals benötigt man eine binomische Formel.

Wie berechne ich eine Wurzelgleichung?

1. Wurzel mit x alleine auf eine Seite bringen. 2. Beide Seiten quadrieren. Hinweis: Beachte, dass die ganze Seite quadriert wird, nicht die einzelnen Terme. Oftmals benötigt man eine binomische Formel. 3. Löse die Gleichung wie gewohnt. 4. Vergleiche die Lösung mit dem Definitionsbereich. Die Lösung muss ein erlaubter x-Wert sein. Ansonsten hat Gleichung keine Lösung.

Was ist eine Wurzelgleichung?

Eine Wurzelgleichung enthält mindestens einen Term mit der Variablen unter der Wurzel.

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