Wurzelgleichungen lösen & Definitionsbereich bestimmen

Wichtiges in Kürze

Eine Wurzelgleichung enthält mindestens einen Term mit der Variable unter der Wurzel.

Beispiel: $$\sqrt{55-3x}-x=5$$​

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Man muss zuerst den „Definitionsbereich“ für die Variable bestimmen. Danach bestimmt man die Lösung der Gleichung.

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​  ist begrenzt auf den Bereich, wo der gesamte Term unter der Wurzel positiv ist.

Vorgehen

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Gleichung lösen

Wurzelgleichungen benötigen ein spezielles Vorgehen:

Vorgehen

Tipp: Bei mehreren Wurzeln muss man meist zuerst eine Wurzel alleine stellen, und dann nach Schritt 2 auch die übrigen Wurzeln.

Beispiel

​$$\sqrt{55-3x}-x=5$$​​

Definitionsbereich: $$x$$​-Bereich bestimmen, sodass: $$55-3x \geq 0$$

$$\begin{aligned} x& \leq \frac{55}{3} \\\mathbb{D}&= \R_{\leq \frac{55}{3}} \end{aligned}$$

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Wurzel alleine stellen:

$$\sqrt{55-3x}=5+x$$​​

Seiten quadrieren:

$$\begin{aligned} 55-3x&= (5+x)^2 \\55-3x&= x^2+10x+25 \end{aligned}$$

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Quadratische Gleichung lösen wie gewohnt:

​$$\begin{aligned}0&= x^2+13x-30 \\0&= (x-2)(x+15) \end{aligned}$$​​

Lösungen: $$\underline{x=2}$$ und $$\underline{x=-15}$$​

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Beide Werte werden vom Definitionsbereich nicht ausgeschlossen und sind somit die Lösungen der Gleichung.